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Bea26 (Bea26)
Neues Mitglied
Benutzername: Bea26
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 09:40: | 
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Ich weiss bei der Aufgabe nicht weiter.
Ein element hat eine Halwertzeit von von 28.5 Jahren. Nach wieviel Jahren ist von 1 mg nur noch 0,1 mg übrig.
Danke |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1967
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 10:14: |
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lg = Dekadischer Logarithmus; t in Jahren
m(t) = m(0)*2-t/28.5
lg[m(t)/m(0)] = (-t/28.5)*lg2
lg(0,1) = (-t/28.5)*lg2 = -0,1
t = 2.85/lg2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 935
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 11:35: |
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Hallo!
Erstens muss man das schon ein wenig begründen und zweitens kann das Ergebnis von Friedrich nicht stimmen (die Zeit ist zu kurz)!
Das Zerfallsgesetz lautet:
M(t) = Mo*e^(-k*t)
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Mo .. Anfangsmasse
M(t) .. Masse nach der Zeit t
k .. Zerfallskonstante
Die Halbwertszeit T ist jene Zeit, nach der genau die Hälfte der Anfangsmasse zerfallen ist:
Mo/2 = Mo*e^(-k*T) | :Mo
1/2 = e^(-k*T) | logarithmieren
-ln2 = -k*T
k*T = ln2
°°°°°°°°°°
Das ist der Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante.
k*28,5 = ln2
k kann man nun ausrechnen, oder auch allgemein weiterrechnen.
k = ln2/28,5 = 0,02432
M(t) = Mo*e^(-0,02432*t)
0,1 = e^(-0,02432*t)
ln(0,1) = -0,02432*t
t = 2,3026/0,02432
t = 94,675 Jahre
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Allgemein, ohne k explizit auszurechnen:
k = ln2/T
M(t) = Mo*e^(-ln(2)*t/T)
nun die Massen einsetzen:
0,1 = e^(-ln(2)*t/T) | logarithmieren
ln(0,1) = -ln(2)*t/T
[es ist ln(0,1) = ln(1/10) = -ln(10) ->]
t = T*ln(10)/ln(2) = 28,5 * 2,3026 / 0,69315 = 94,675 Jahre
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Gr
mYthos
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1969
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 11:44: |
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oh, ja, sorry!
lg(0,1) = (-t/28.5)*lg2 = -1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Biggy (Biggy)
Junior Mitglied
Benutzername: Biggy
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 17:20: |
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Hi!
Bitte helft mir bei dieser Aufgabe!
Jemand leiht sich bei der Bank ein Ausgangskapital (K°) von 2000 Euro und zahlt jeden Monat 100 Euro zurück. Die Bank verlangt 1,2% Zinsen. Wie lange dauert die Rückzahlung?
Danke für eure Hilfe!!! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 964
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 09:17: |
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@Biggy
Bitte für neue Aufgabe auch neues Thema eröffnen!
Ich nehme an, dass die 1,2% Zinsen monatlich gemeint sind.
Ko = 2000 ist der Barwert (heute) aller n Raten (nachschüssig) von a = 100, p = 1,2 %, q = 1 + p/100 = 1,012, n ist unbekannt und zu berechnen.
Ko = [a/(q^n)] * ((q^n) - 1)/(q - 1)
2000 = 100/(1,012^n)] * ((1,012^n) - 1)/0,012
20*0,012*(1,012^n) = (1,012^n) - 1
0,24*(1,012^n) = (1,012^n) - 1
1 = 0,76*1,012^n
diese Exponentialgleichnung nach n lösen, durch logarithmieren (log oder ln):
0 = ln(0,76) + n*ln(1,012)
n = -ln(0,76) / ln(1,012)
n = 0,274437 / 0,01192857
n = 23 (rd.)
°°°°°°°°°°°°
Die Rückzahlung dauert 23 Monate.
Gr
mythos
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Haudegen (Haudegen)
Neues Mitglied
Benutzername: Haudegen
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 16:09: |
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Hi, mich interessiert einfach nur mal, wie du auf die Formel Ko = [a/(q^n)] * ((q^n) - 1)/(q - 1) kommst.....der erste Faktor ist für mich ja noch in etwa nachvollziehbar, der rest dagegen nicht mehr
und warum arbeitest du hier mit dieser Formel? Wovon hängt das ab, wo du doch dagegen in anderen Zerfallsprozessen dieser hier angewendet hast:
m(t) = m0*e^(-k*t)
Zu der wollt ich sowieso nochma fragen, was der term -k*t aussagt und warum gerade "minus"k
Wär nett, wenn du dazu ein paar ausführungen machen könntest. Thx und cya |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1022
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 17:15: |
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Das kommt daher, weil zwei GANZ VERSCHIEDENE Aufgaben hier in einem Thread gepostet wurden.
Die erste von dir erwähnte Formel ist die Summenformel der endlichen geometrischen Reihe, damit werden einfach alle entsprechend verzinsten Raten, die immer mit der entsprechenden Potenz (je nach Laufzeit der Rate) des Aufzinsungsfaktors q = (1 + p/100) behaftet sind sind, zusammengezählt.
Bei m(t) = m0*e^(-k*t) wird, wenn die Konstante k positiv ist, durch -kt eine ABNAHME (Zerfall) und durch +kt ein ZUNAHME (Wachstum) angedeutet. Man kann jedoch auch nur k*t nehmen und für k alle Vorzeichen zulassen.
t ist die Zeit, und durch k wird ausgesagt, mit welcher Geschwindigkeit die Veränderung vor sich geht.
Also, wenn t = 1 ist, gibt's eine Änderung mit dem Faktor e^(-k) oder eben auch e^k
Den diesen Faktor kann man auch b setzen und das Gesetz lautet dann:
m(t) = m0*(b^t)
Das wirst du vielleicht auch schon so gesehen haben.
Gr
mYthos
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