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Mathematikus (Mathematikus)
Neues Mitglied
Benutzername: Mathematikus
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 09:05: | 
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Eien quadratische Terrasse , die mit quadratischen Platten gleicher Größe ausgelegt ist , wird mit den gleichen Platten zu einem größeren Quadrat erweitert. Wie viele Platten kann die Terrasse vor der Erweiterung gehabt haben , wenn
a) 211
b) 212
Platten zur Erweiterung verwandt wurden? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1953
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 09:22: |
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http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/show.cgi?25/356650
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 916
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 10:42: |
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Alle Aufgaben doppelt zu posten bringt nichts ausser Ärger und gehört nicht zur Netiqette!
Gr
mYthos
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Mathematikus (Mathematikus)
Junior Mitglied
Benutzername: Mathematikus
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 10:45: |
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es tur mir leid 
bin neu hier sry |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 489
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 15:23: |
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Hi Mathematikus!
Eine Lösung erhält man sofort durch Anwendung der binomischen Formel:
x² + 211 = (x+1)²
x² + 211 = x² + 2x + 1
211 = 2x + 1
210 = 2x
105 = x
Bei der Überprüfung, ob es weitere Lösungen gibt (wobei man z.B. die Gleichung
x²+211 = (x+3)²
ansetzt), fällt auf, dass immer Gleichungen der Form 2px+q = 211 entstehen, wobei q ein Vielfaches (genauer das Quadrat) von p ist. Damit eine solche Gleichung eine ganzzahlige Lösung hat, muss bereits 211 durch p teilbar sein. (px ist durch p teilbar, q ist durch p teilbar, dann muss 211 durch p teilbar sein.) Nun ist 211 allerdings eine Primzahl. Das bedeutet: die o.a. Lösung ist die einzig mögliche.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 490
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 15:30: |
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Zu Aufgabe b)
Es ist klar, dass der Ansatz
x² + 212 = (x+1)²
hier nicht funktionieren kann, da die Differenz zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen immer ungerade ist. Allerdings könnte ein Ansatz der Form
x² + 212 = (x+2)² funktionieren.
So ist es:
x² + 212 = x² + 4x + 4
212 = 4x + 4
208 = 4x
52 = x
Bei der Suche nach weiteren Lösungen erhält man Gleichungen der Art
x² + 212 = (x + g)², wobei g eine gerade Zahl ist.
x² + 212 = x² + 2g + g²
212 = 2g + g²
212 = g(2+g)
Damit eine ganzzahlige Lösung existiert, müsste 212 also durch g und g+2 teilbar sein. Nun ist die Primfaktordarstellung von 212 aber 2²*53, d.h.: außer dem oben bereits angegebenen Paar 2/4 gibt es kein weiteres Paar g/g+2, das für eine weitere Lösung in Frage käme.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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