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Chapuismichel (Chapuismichel)
Mitglied
Benutzername: Chapuismichel
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 18:49: | 
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Ich hoffe, das mir bei den folgenden Aufgaben jemand helfen kann. Wenn möglich mit Lösungsweg.
1.) x eins und x zwei sind die Lösungen der Gleichung x^2 +px+q=0. Drücke den Therm x eins ^3 +x zwei ^3 durch p und q aus ohne x eins und x zwei auszurechnen.
2.) Es sei x-y=4 und M=x^2+y^2. Für welches Zahlenpaar (x/y) ist M minimal?
Vielen Dank schon im Voraus.
MfG
Michelin} |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 462
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:31: |
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Hi Chapuismichel!
Zu Aufgabe 1 hätte ich schonmal eine Lösung anzubieten. Man benutzt dabei den Satz von Vieta:
x1+x2=-p
x1*x2=q
Der Ansatz geht über die binomische Formel 3. Grades. Die rot markierten Teile ergeben sich aus der "roten", die blau markierten Teile aus der "blauen" Formel von Vieta (s.o.):
(x1+x2)³ =
x1³+3x1²x2+3x1x2²+x2³ =
x1³+3x1q+3x2q+x2³ =
x1³+x2³+3q(x1+x2) =
x1³+x2³-3qp
Bislang können wir also folgende Gleichung aufstellen:
(x1+x2)³ = x1³+x2³-3qp
Nun gilt x1+x2=-p
Also:
-p³ = x1³+x2³-3qp
3pq-p³ = x1³+x2³
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 463
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:41: |
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Zu 2:
Die beiden Bedingungen lassen sich so umschreiben:
x²+y²=M
y = x-4
Setze nun x-4 für y in die obere Gleichung ein. Statt M kannst du nun f(x) schreiben, denn es liegt ja eine Funktion von x vor.
x²+(x-4)²=f(x)
Vereinfachen:
f(x) = x² + x² - 8x + 16
f(x) = 2x² - 8x + 16
Es handelt sich um eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist. Ihr Minimum liegt im Scheitelpunkt. Also sollten wir ihn finden:
f(x) = 2(x² - 4x) + 16
f(x) - 16 = 2(x² - 4x)
(f(x) - 16)/2 = x² - 4x
Jetzt die quadratische Ergänzung benutzen:
(f(x) - 16)/2 + 4 = x² - 4x + 4
(f(x) - 16)/2 + 4 = (x - 2)²
(f(x) - 16)/2 = (x - 2)² - 4
f(x) - 16 = 2(x - 2)² - 8
f(x) = 2(x - 2)² + 8
Der Scheitelpunkt liegt also bei (2 | 8). Damit haben wir unser Zahlenpaar gefunden (x=2, y=8).
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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