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Gleichsetzungsverfahren

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Vena (Vena)
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Junior Mitglied
Benutzername: Vena

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 22:41:   Beitrag drucken

Hi
Sind diese Aufgaben richtig gerechnet?

Lösungsmenge durch Gleichsetzungsverfahren!
1)
I –7x –2y= 34
II –5x-8y= 90

I y= -7/2x-17/2
II y= -5/8x -90/8

I +II -7/2x-17/2=5/8x -90/8 | kgv 8
-28/8x- 68/8=5/8x-90/8| *8
-28x-68=-5x-90
-23x= -22
x= 22/23

I –7*22/23-2y=34
-6/16/23-2y=34
-2y=40/16/23
y= 20/8/23

L(22/23|20/8/23)

2)
I 22x+8y=5
II 33x+12y=24

I y=-22/8x +5/8
II y= -33/12x +2/12

-22/8x +5/8= -33/12x +2/12 |kgv 24
-66/24x +15/24= -66/24x+ 4/24 |*24
-66x +15= -66x+ 4
0= -11 --> hier habe ich kein x mehr, wie soll die Lösungsmenge sein?


Gruß Vena
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1897
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 07:16:   Beitrag drucken

1)
y aus I ist leider falsch
I y = -(7/2)x - 17; y aus II stimm; damit weiterrechnen und Probe machen

2) y aus II ist leider falsch: 24/12 = 2 nicht 2/12
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 853
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 11:07:   Beitrag drucken

Hi Vena,

das System aus 2. ist (trotz deines Rechenfehlers) ein System mit Widerspruch und hat daher keine Lösungsmenge. Das wird hier gleich gezeigt.

Allgemein ist zu sagen, dass eine Variable nie ganz wegfallen darf, sonst kann man ja keine Aussage über die Lösungsmenge treffen.

z.B. bei

7x = 7x + 12

würde 0 = 12 herauskommen und x wäre verschwunden; daher wird man höchstens 6x von beiden Seiten subtrahieren, und es kommt

x = x + 12

Hier kann man nun beenden, und sagen, dass dies einen Widerspruch darstellt. Für kein x gilt, dass es gleich bleibt, wenn man es um 12 vermehrt! Die Lösungsmenge ist also bei einem Widerspruch immer leer: L = { }

Selbst wenn man die Variable nun doch wegfallen lässt, entsteht ein Widerspruch:

0 = 12, und das kann ja nicht sein.

Jetzt kann über die Variable nun keine Aussage mehr getroffen werden, das sie ja nicht mehr aufscheint.

Es gibt auch Gleichungen, die auf keinen Widerspruch führen, sondern auf eine sogenannte Identität:

3x + 2 = 3x + 2

Diese heisst: Identische Gleichung, nach Umformung

3x = 3x
x = x

Wieder sollte die Variable nicht wegfallen!

Hier sieht man, dass JEDES x aus der Grundmenge G bzw. Definitionsmenge D diese Gleichung erfüllt:

L = G (= D)


Nun zum Beispiel 2.:

I 22x + 8y=5
II 33x + 12y=24
-----------------

I y = -22x/8 + 5/8
II y = -33x/12 + 2
-------------------

-22x/8 + 5/8 = -33x/12 + 2 |*24
-66x + 15 = -66x + 48

jetzt ist es wieder so, wie eingangs bereits besprochen, die -66x sollten nicht wegfallen, wir formen also nur um, um zu sehen ob ein Widerspruch entsteht:

-66x = -66x + 33 |:33
-2x = -2x + 1 |+3x
x = x + 1
°°°°°°°°°°

Das ist die einfachste Form, in der auch der Widerspruch sofort erkennbar ist: Für KEIN x gilt, dass x = x + 1 ist.

Da es nun für x keine Lösung gibt, gilt dies auch für y, und die Gesamt-Lösungsmenge ist leer:

L = { }
°°°°°°°

Versuche auch mal einen Weg mit weniger Rechenaufwand, d.i. die Methode der gleichen Koeffizienten: Man multipliziert die Gleichungen so, dass entweder die Koeffizienten von x oder die von y entgegengesetzt gleich werden, und dann kann man die Gleichungen addieren:

22x + 8y = 5 |*(-3)
33x + 12y = 24 |*2
-------------------
-66x - 24y = -15
66x + 24y = 48
-------------------
addieren

0 = 33, daraus resultiert ein Widerspruch, die Gesamtlösungsmenge ist leer.

Gr
mYthos
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Seaeler (Seaeler)
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Benutzername: Seaeler

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 14:32:   Beitrag drucken

Hallo Ich kapier das Thema eigentlich aber hab doch ne Frage!
Wie kommt man bei der Aufgabe
I. x+2y=5
II. x-y=2

Auf den X-Wert:3 der in meinen Lösungen Angegeben ist?

Danke
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Häslein (Häslein)
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Benutzername: Häslein

Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 14:44:   Beitrag drucken

Hallöchen,

wenn du die zweite Gleich ung nach x auflöst, dann erhältst du x = y + 2.

Wenn du das nun in die erste Gleichung einsetzt, dann erhältst du die folgende Gleichung:

y + 2 + 2y = 5
3y = 3
y = 1

Setzt du dieses y jetzt in die zweite Gleichung ein, dann erhältst du für x = 3.

Allerdings war das jetzt das Einsetzungsverfahren.
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Häslein (Häslein)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein

Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 14:49:   Beitrag drucken

Willst du das ganze mit dem Gleichsetzungsverfahren machen, dann musst du zunächst bei deiner ersten Gleichung 5 subtrahieren und bei deiner zweiten Gleichung 2. Dann erhältst du die folgenden beiden Gleichungen:

I. x + 2y -5 = 0
II. x - y -2 = 0

Diese Gleichungen kannst du jetzt gleichsetzen:

x + 2y -5 = x - y -2

Hierbei fällt das x weg und du erhältst:

2y -5 = - y -2
3y = 3
y = 1

Setzt du das nun wieder in die zweite Gleichung ein, dann erhältst du wiederum für x = 3.

Hoffe, ich konnte dir helfen.


Liebe Grüße
Jasmin



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Seaeler (Seaeler)
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Benutzername: Seaeler

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 15:34:   Beitrag drucken

Also ich habe das so gemacht wie ich das sonst auch immer mache denn bisher war das immer richtig:
I. x+2y=5 |-x /2 = I. y=-x+2,5
II. x-y=2 |-x /(-1) = II. y=x-2

Gleichsetzen

-x+2,5 = x-2 |+x -2,5
2x = 4,5 |/2
x = 2,25

ALso ich denke das war alles richtig oder?
In den Lösungen stand aber das der X-Wert 3 ist und so kann ich mit meinem Ergebniss nicht auf deren Endergebnis kommen!Hab ich das richtig oder sind die Lösungen richtig?

Danke!
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2014
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 15:51:   Beitrag drucken

@Seaeler:
Deine Rechnung stimmt - ist vielleicht die
Aufgabe falsch abgeschrieben?
@alle:
BITTE DIESEN THREAD NICHT DERART IN DIE LÄNGE ZIEHEN
(SEHT MAL, WANN DER BEGONNEN HAT
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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