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Sweetminerva (Sweetminerva)
Neues Mitglied
Benutzername: Sweetminerva
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 21:33: | 
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Hallo, ich habe ein Problem: Die Stufenform im Additonsverfahren mit drei Gleichungen und drei Variablen. Kann mir jemand genau erklären, wie man schritt für schritt vorgehen muss und worauf ich achten muss (Was man leicht falsch machen kann)!?
Beispiel:
3x-7y+4z=15 (I)
7x+14y+8z=6 (II)
x-9y+12z=23 (III)
Und wenn man dann ein Ergebniss x=...;y=...;z=... bekommt, was sieht man dann daran?! Wozu ist das also gut?
Und dann noch eine Frage: Woran erkennt man die "Lösbarkeit der Gleichungen"?
Bitte um schnelle Antwort, denn ich brauche das für eine Arbeit am Dienstag.
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Filipiak (Filipiak)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 472
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 14:14: |
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Bei 3 Gleichungen mit 3 Variablen muß man versuchen, diese zunächst in 2 Gleichungen mit 2 Variablen umzuwandeln.
Mit Hilfe der Additionsmethode bildet man aus der ersten und zweiten und aus der ersten und dritten Gleichung zwei neue Gleichungen. Diese beiden neuen Gleichungen mit 2 Variablen werden auch mit der Additionsmethode gelöst.
Durch rückläufiges Einsetzen in eine Gleichung werden die übrigen Variablen ausgerechnet.
I..: 3x -7y+4z = 15
II.: 7x+14y+8z = 6
III: x - 9y+12z= 23
I..: 3x -7y+4z = 15 |*2
II.: 7x+14y+8z = 6
Gleichung I mit 2 multiplizieren, damit y wegfällt:
I..: 6x-14y+8z = 30
II.: 7x+14y+8z = 6
Gleichungen I und II addieren:
I+II: 13x+16z = 36
I..: 3x-7y+4z = 15 |*-9
III: x-9y+12z= 23 |*7
Gleichung I mit -9 multiplizieren; Gleichung III mit 7 multiplizieren, damit y wegfällt:
I..:-27x+63y-36z =-135
III: 7x -63y+84z = 161
Gleichungen I und III addieren:
I+III: -20x+48z = 26
I+II: 13x+16z = 36 |*-3
I+III:-20x+48z= 26
Gleichung I+II mit -3 multiplizieren, damit z wegfällt:
I+II.: -39x-48z =-108
I+III: -20x+48z = 26
Gleichungen I+II und I+III addieren:
-59x = - 82 |:-59
x = 82/59
x = 82/59 in obige Gleichung z.B. 13x+16z = 36 einsetzen:
13*(82/59) + 16z = 36
1o66/59 + 16z = 36 | Hauptnenner : 59
1066 + 944z = 2124
944z = 1058
z = 1058/944
z = 529/472
x = 82/59 und z = 529/472 in obige Gleichung, z.B. 3x-7y+4z = 15 einsetzen:
3*(82/59) -7y + 4*(529/472) = 15
249/59 -7y +2116/472 = 15 | Hauptnenner = 472
1968 - 3304y + 2116 = 7o80
-3304y = 2996
y = -(2996/3304)
y = -749/826
Durch Einsetzen der Lösungen x = 82/59, y = -(749/826) und z = 529/472 in die Ausgangsgleichungen muß sich 15, 6 und 23 ergeben.
Gruß Filipiak
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Filipiak (Filipiak)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 473
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 14:28: |
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Es kann vorkommen, daß ein Gleichungssystem keine Lösung besitzt,
I..: -2x+8y = 5
II.: x -4y = 1 | *2
I..: -2x+8y = 5
II.: +2x-8y = 2
Wir addieren beide Gleichungen:
0 = 7
Dies ist eine falsche Aussage, die äquivalent zum Gleichungssystem ist. Deshalb kann es keine Lösung geben, L = { }.
I..: 3x-7y = -2
II.:12x+8 = 28y | : 4m dabb -2 -7y
I..: 3x-7y = -2
II.: 3x-7y = -2
Beide Gleichungen sind identisch. Wenn wir sie voneinander subtrahieren, erhalten wir die Gleichung 0 = 0, die eine unendliche Lösungsmenge hat.
Gruß Filipiak
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 14:49: |
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Hi, der Begriff Stufenform ist mir zwar noch nicht begegnet, aber ich gehe mal davon aus, dass du unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen haben willst, um das Gleichungssystem von hinten auflösen zu können. Dazu darfst du Zeilen vertauschen, und eine Zeile durch eine Linearkombinationen von Zeilen ersetzen (wenn die Zeile drin vorkommt). Dies nutzt man aus, um sukzessive in den Spalten 0 zu erzeugen. Bei einem 3x3-System sind das nur drei Umformungen. Der Rechenaufwand hängt allerdings etwas davon ab, wie geschickt man die Zeilen anordnet. Im vorliegenden System könnte man zum Beispiel im ersten Schritt das 7/3fache der ersten Zeile von der Zweiten abziehen. Man kann aber auch erst die erste und die dritte Zeile vertauschen, dann kommt man bei den ersten beiden Schritten ohne Brüche aus. Wie mans lieber macht, ist Geschmackssache, probier es mal aus.
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems gibt einem an, mit welchen Werten man in ein System einsteigen muss um eine bestimmte Ausgabe zu erhalten. Stell dir mal vor, du sollst ein genau festgelegtes Gemisch dreier Stoffe erstellen. Wenn du die Stoffe rein hast, ist das kein Problem. Wenn du aber nur irgendwelche Fertiggemische hast, musst du ein lineares System lösen um rauszukriegen ob und ggf wie du die richtige Mischung zusammenbekommst.
Die Lösbarkeit sieht man daran, an welchen Stellen Nullen entstehen: Wenn die Hauptdiagonale ungleich 0 ist, ist das (quadratische) System eindeutig lösbar. Wenn komplette Zeilen 0 werden, hast du freie Parameter, d.h. eine ganze Schar von Lösungen. Wenn aber nur in der letzten Spalte, der Inhomogenität, etwas ungleich 0 übrig bleibt, dann ist das System unlösbar. |
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