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Anja (younanni)
Neues Mitglied
Benutzername: younanni
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 20:13: | 
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Hallo Mathefreaks!
Ich setze mich gerade mit einem Gegenbeweis des 2. Strahlensatzes auseinander, den ich in einem (Lehr-) Buch gefunden habe und den ich für falsch erachte. Vielleicht könnt ihr mir erklären, wo mein Gedankenfehler liegt oder mich bestätigen und mir evtl. einen gültigen Gegenbeweis nennen.
Umkehrung des 2. Strahlensatzes: Werden 2 Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt (S) von 2 Geraden geschnitten und verhalten sich die Längen der Abschnitte auf den schneidenden Geraden wie die von S aus gemessenen Längen der entsprechenden Abschnitte auf jedem Strahl, so sind die Geraden parallel.
Gegenbeweis:
Man zeichne sich zuerst 2 Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S und zwei parallele Geraden. Diese schneiden den "unteren" Strahl im Punkt A (näher an S ran) und B, den oberen Strahl dementsprechend in A' und B'. Vom Punkt B aus trage man mit dem Zirkel die Länge der Strecke BB' nochmals auf den oberen Strahl ab, sodass dort ein weiterer Punkt B'' entsteht (es gilt also: BB' = BB'', aber die beiden Strecken liegen nicht parallel zueinander).
Hier gilt der 2. Strahlensatz:
AA' / BB' = SA' / SB'
Da aber BB' = BB'' ist, gilt auch
AA' / BB'' = SA' / SB'
Aber AA' = BB'' sind nicht parallel.
Mein Einwand:
Zur Vereinfachung der Findung eines Gegenbeweises unterteile ich die oben zitierte Umkehrung des 2. Strahlensatzes in Voraussetzung und Folgerung.
Vor.: - 2 Strahlen (gemeinsamer Anfangspunkt) geschnitten von 2 Geraden
- AA' / BB'' = SA' / SB'' (s. Ausformulierung ab "und")
Folg.: AA' parallel zu BB''
Wenn ich nun einen Gegenbeweis formulieren will, muss ich ein Beispiel finden, für das die Voraussetzungen erfüllt sind und dennoch die Folgerung nicht erfüllt ist.
In der o.g. "Beweisführung" aus dem Buch kann man aus der vorletzten Zeile (AA' / BB'' = SA' / SB') darauf schließen, dass die 2. Voraussetzung (AA' / BB'' = SA' / SB'') nicht erfüllt ist, da SB' ungleich SB''. Also müssen die schneidenden Geraden laut der Umkehrung des 2. Strahlensatzes in diesem Fall auch gar nicht parallel sein, denn die Voraussetzungen dieser Umkehrung sind nicht vollständig erfüllt. Somit ist dies kein Gegenbeweis. Oder liege ich da falsch?
Ich hoffe sehr, dass sich das jemand mal durchliest und dazu seine Meinung äußert, denn die Sache beschäftigt mich im Moment echt. |
Astrid Sawatzky (sawatzky)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sawatzky
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 10:01: |
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Hi Anja,
Erstmal musste ich mir das auch ein paar mal durchlesen, aber nun kommt's.
Der Gegenbeweis ist wie folgt:
Hier gilt der 2. Strahlensatz:
AA' / BB' = SA / SB
Da aber BB' = BB'' ist, gilt auch
AA' / BB'' = SA / SB
Aber AA' = BB'' sind nicht parallel.
Das Verhältnis SA/SB also zu den Ursprungspunkten A und B reicht für den Strahlensatz ja aus.
Wenn die Strecken im Buch wirklich SA' und SB' heißen, dann ist das natürlich Quark.
Gruß Astrid |
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