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Christian (evil_dead)
Neues Mitglied
Benutzername: evil_dead
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 09:31: | 
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Hallo! Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen:
Die Gerade g zu y=3x+1 wird durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum S und dem Streckfaktor k abgebildet. Ermittle eine Gleichung der Bildgeraden g'.
Anleitung: Ermittle die Koordinaten von zwei Punkten auf g' und aus diesen eine Gleichung von g'!
S(O|0); k=2
Hab keine Ahnung, wie das gehen soll, bitte helft mir! Danke schonmal!
mfg,
Evil |
Martin (specage)
Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 10:56: |
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Verbindest du zwei Punkte der Geraden mit dem Zentrum, so erhälst du ein Dreieck. Verlängerst du diese zwei Strecken um den Faktor zwei, so erhälst du wieder zwei Punkte, die du zu einer Geraden verbinden kannst, die parallel zu der ersten verläuft.
Wenn du genau hinsiehst, erkennst du eine Strahlensatz Figur.
Damit ist offensichtlich, dass nicht nur die Strecken selbst um den Faktor zwei verlängert werden, sondern auch die jeweiligen x bzw. y Koordinaten.
Es seien nun A(0;1) und B(1;4) zwei Punkte auf der Orignial-Geraden.
Verlängert um den Faktor 2 ergeben sich die zwei Bildpunkte A'(0;2) und B(2;8)
Daraus lässt sich nun die Bildgerade g' entwickeln:
y'=3x'+2
mfg specage |
Christian (evil_dead)
Neues Mitglied
Benutzername: evil_dead
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Mai, 2003 - 14:38: |
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und wie sieht das ganze dann aus wenn S(1|1) und k=-2 ist?
Schonmal danke ;) |
Martin (specage)
Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 09:01: |
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Hallo, ich werd mal etwas ausführlicher, damit du auch den Strahlensatz in einer Former vor dir siehst, die hier gültig ist.
Kann es leider im Moment nicht zeichnen, ich hoffe, du kannst es dir vorstellen.
Also, ich habe ohne Beschränkung der Allgemeinheit ein Streckzentrum S(x_s;y_s) und eine Gerade y=mx+b mit einem Punkt A(x_1;y_1)
mit x_1 > x_s und y_1 > y_s sowie ein Streckfaktor k beliebig.
Diese zwei Punkte werden nun erst einmal verbunden.
Zusätzlich wird über der Strecke SA ein rechtwinkliges Dreieck so gezeichnet, dass die Katheden jeweils parallel zu den Koordinatenachsen liegen.
Am rechten Winkel entsteht ein neuer Punkt, den ich P(x_p;y_p) nenne.
Die Koordinaten dieses Punktes kann ich leicht in Bezug auf die beiden Punkte A und S bringen:
x_p=x_1 und y_p=y_s
Damit hat der Punkt P die endgültigen Koordinaten
P(x_1;y_s)
Die positiven Längen der Katheden lauten:
PA=y_1-y_s und PS=x_1-x_s
Der Bildpunkt berechnet sich jetzt folgendermaßen:
(1) x_1'=x_s+k*(x_1-x_s) und y_1'=y_s+k*(y_1-y_s)
Formst du diese Gleichungen einmal zum Spaß um, so erhälst du:
(2) k=(x_1'-x_s)/(x_1-x_s) und k=(y_1'-y_s)/(y_1-y_s)
Erkennst du hier den Strahlensatz?
Dies will ich nun einmal praktisch an deinen beiden Aufgaben durchführen.
Dazu benutze ich die Gleichungen aus (1)
a) Ich wähle von der Geraden y=3x+1 mal den Punkt A(1;4)
Ich habe S(0;0) und k=2
Damit erhalte ich für den Bildpunkt:
x_1'=0+2*(1-0)=2 und y_1'=0+2*(4-0)=8
also A'(2;8)
Da die Bildgerade parallel zur Originalgeraden verläuft, habe ich m'=3 und kann mit der Punkt-Steigungsform die Gleichung bestimmen:
y'=3x+2
Das Gleiche nun für deine zweite Aufgabe:
y=3x+1 A(2;7) S(1;1) k=-2
Es ist
x_1'=1-2*(2-1)=-1 und y_1'=1-2*(7-1)=-11
also den Bildpunkt A'(-1;-11)
Mit m'=3 erhalte ich die Gleichung der Bildgeraden
y'=3x'-8
Wenn die Herleitung etwas verwirrend sein sollte, merk dir einfach die Gleichungen in (1) bzw. (2)
Dort sind die Strahlensatzgleichungen zu erkennen.
mfg specage
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