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anke
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juni, 2001 - 13:35: | 
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a) Begründe: Eine quadratische Gleichung x²+px+p= 0 hat für q ist kleiner als 0 stets zwei Lösungen; eine Lösung ist positiv, die andere negativ.
b) Überprüfe, ob der folgende Kehrsatz des Satzes unter a) gilt: Wenn eine quadratische Gleichung x²+px+q= 0 zwei Lösungen besitzt, dann gilt q ist kleiner als 0.
Vielen Dank schon mal im voraus! |
Bennax (Bennax)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juni, 2001 - 18:52: |
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nach der pq-Formel ist die Lösung der Gleichung immer
x = -p/2 + sqrt[(p/2)^2 - q]
bzw x = -p/2 - sqrt[(p/2)^2 - q]
Bei der pq-Former hängt die Anzahl der Lösungen davon ab, ob unter der Wurzel ein positives Ergebnis, Null oder ein negatives Ergebnis herauskommt. Ist das Ergebnis negativ, existiert keine reelle Lösung, ist das Ergebnis Null, so gibt es nur eine Lösung, ist das Ergebnis > 0, also positiv, so gibt es stets zwei Lösungen (s.o.)
Wenn nun gilt q < 0, dann ist (p/2)^2 - q immer größer als 0, da ein Quadrat immer positiv ist und -q ebenfalls positiv ist, wenn q < 0 gilt. Also steht unter der Wurzel etwas positives und somit existieren zwei Lösungen.
zu b)
Der Kehrsatz hingegen gilt nicht, denn unter der Wurzel steht immer dann etwas positives (das muß ja gelten, damit zwei Lösungen rauskommen), wenn (p/2)^2 größer als q ist! Angenommen, q ist nicht < 0, dann muß, damit zwei Lösungen existieren (p/2)^2 > q gelten.
=> (p/2) > sqrt(q)
=> p > 2*sqrt(q)
Es existieren also immer zwei Lösungen, wenn p > 2*sqrt(q) ist. Es läßt sich also zu jedem q > 0 ebenfalls ein p finden, sodaß zwei Lösungen existieren, der Kehrsatz zu a) gilt also nicht.
Hoffe, das konnte Dir weiterhelfen.
Übrigens: sqrt ist zeichen für Wurzel aus .... (falls Du das nicht wußtest, sorry). |
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