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Beitrag |
    
Eckhard Schlemm (toxical)
Neues Mitglied
Benutzername: toxical
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 20:19: | 
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Hi ihr,
kann mir jmd helfen, folgende Gleichung nach m aufzulösen?
Vielen Dnak schonmal
arccos((1-m)/10)=arctan(-1/m)
Mercoi beaucoup |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 189
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 22:31: |
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Hallo Eckhard,
arccos((1-m)/10)=arctan(-1/m) | auf beiden seiten tan
tan( arccos((1-m)/10) ) = tan( arctan(-1/m) )
tan( arccos((1-m)/10) ) = -1/m
es gilt: tan(x) = sin(x) / cos(x)
weiters gilt: sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))
und beides zusammen:
tan(x) = sqrt(1 - cos^2(x))/cos(x)
tan(x) = sqrt(1/cos^2(x) - cos^2(x)/cos^2(x))
tan(x) = sqrt(1/cos^2(x) - 1)
daher unsere Gleichung:
tan( arccos((1-m)/10) ) = -1/m
sqrt( 1/((1-m)/10)^2 - 1 ) = -1/m
sqrt( 100/(1-m)^2 - 1 ) = -1/m
sqrt( 100/(1-m)^2 - (1-m)^2/(1-m)^2 ) = -1/m
sqrt( 100 - (1-m)^2 )/(1-m) = -1/m
sqrt( 100 - (1-2m+m^2) )/(1-m) = -1/m
sqrt( -m^2 + 2m + 99 )/(1-m) = -1/m
damit die Gleichung erfüllt ist,
muß m < 0 sein; und weiters
-m^2 + 2m + 99 >= 0
-m^2 + 2m -1 >= -100
m^2 - 2m +1 <= 100
(m-1)^2 - 100 <= 0
(m-1 + 10)*(m-1 - 10) <= 0
(m+9) * (m-11) <= 0
-9 <= m <= 11
beide bedingen verknüpft:
(-9 <= m <= 11) und (m < 0)
ergibt: -9 <= m < 0
zur gleichung:
sqrt( -m^2 + 2m + 99 )/(1-m) = -1/m
sqrt( -m^2 + 2m + 99 ) = -(1-m)/m
sqrt( -m^2 + 2m + 99 ) = (m-1)/m
sqrt( -m^2 + 2m + 99 ) = 1 - 1/m
-m^2 + 2m + 99 = 1 - 2/m + 1/m^2
-m^2 + 2m + 98 + 2/m - 1/m^2 = 0
hier haben wir es mit einer symm. gleichung 4ten grades zu tun:
-------------------------
k = m + 1/m
k^2 = m^2 + 2 + 1/m^2
k^2 - 2 = m^2 + 1/m^2
-------------------------
und subst.: für den Term m + 1/m die Var. k
und für den Term m^2 + 1/m^2 den Term k^2 - 2
-m^2 + 2m + 98 + 2/m - 1/m^2 = 0
-(k^2 - 2) + 98 + 2k = 0
-k^2 + 2 + 98 + 2k = 0
-k^2 + 2k + 100 = 0
k^2 - 2k - 100 = 0
k1,2 = 1 +/- sqrt( 1 + 100 ) = m + 1/m
1 +/- sqrt( 101 ) = m + 1/m
m*(1 +/- sqrt( 101 )) = m^2 + 1
m^2 - m*(1 +/- sqrt( 101 )) + 1 = 0
m^2 - 11,04987586m + 1 = 0 (+)
m1,2 = 5,52... +/- sqrt(30,5249 - 1)
liefert keine Lösung im gef. Intervall
m^2 + 9,04987562m + 1 = 0 (-)
m1,2 = -4,5249... +/- sqrt(20,475... - 1)
m1,2 = -4,5249... +/- sqrt(19,475...)
m1 ~ -0,111881931
m2 ~ -8,937993689
Diese beiden Werte kannst in die gegebene Trig. Gleichung einsetzen; beide Werte sind gültig;
Hoffe das hilft;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Ludwig S.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. September, 2002 - 23:31: |
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uff..da scheint sich ja einer auszukennen..:-)
könntest du mir dann schnell sagen vielleicht nocj bitte, wie ich hier weiterrechne?
1/sin(x) + 1/cos(x) = 10
bin dann auch auf ne gleichung 4. grades gekommen..aber geht das nicht einfacher?
danke
Ludwig |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 190
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 05:17: |
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Hallo Ludwig,
1/sin(x) + 1/cos(x) = 10 | beide Seiten mit sin(x) und cos(x) multiplizieren
sin(x) + cos(x) = 10 * sin(x) * cos(x) | quadrieren
sin^2(x) + cos^2(x) + 2 * sin(x) * cos(x) = 100 * sin^2(x) * cos^2(x)
es gilt: sin^2(x) + cos^2(x) = 1
weiters gilt: 2 * sin(x) * cos(x) = sin(2x)
daher unsere Gleichung:
sin^2(x) + cos^2(x) + 2 * sin(x) * cos(x) = 100 * sin^2(x) * cos^2(x)
sin^2(x) + cos^2(x) + 2 * sin(x) * cos(x) = 25 * (2 * sin(x) * cos(x))^2
1 + sin(2x) = 25 * sin^2(2x)
25 * sin^2(2x) - sin(2x) - 1 = 0
sin^2(2x) - 1/25 * sin(2x) - 1/25 = 0
sin(2x)1,2 = 1/50 +/- sqrt(1/2500 + 1/25)
sin(2x)1,2 = 1/50 +/- sqrt(1/2500 + 100/2500)
sin(2x)1,2 = 1/50 +/- sqrt(1+100)/50
sin(2x)1,2 = 1/50 +/- sqrt(101)/50
sin(2x)1 = 0,2209975
sin(2x)2 = -0,1809975
x1 = 0,1114186 + 2k*pi mit k element IN
x2 = -0,091 + (2k+1)*pi mit k element IN
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Ludwig S.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 10:11: |
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supper!!
danke schön..aber wie kommt man nur auf sowas :-) |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 191
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 10:29: |
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Hallo Ludwig,
Tja, keine Ahnung wie man auf so a Gleichung kommt;
:-)
Ehrlich gesagt, sind diese Gleichungen der Hammer für einen Schüler der 9ten oder 10ten Klasse;
(hab selber bereits ein ABI)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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