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Zushg. Kegelstumpfvol. mit Abständen...

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Lutz K.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 23:04:   Beitrag drucken

Hallo!
Hier mal ein praktisches Problem.

Wer die Vorgeschichte nicht wissen will, kann den grünen Text übergehen.

An diesem verregneten Ferientag wollte ich bestimmen, wie groß die Regenmenge denn nun ist, die da so runterkommt.
Ich hatte mir von meiner Mami aus der Küche den nächstbesten "Kegelstumpf"-Messbecher "ausgeborgt", mich flüchtig vergewissert, dass auch Zahlen 100, 200, 300, etc. draufstanden und ihn draußen aufgestellt.

Nachdem ich ihn wieder hereingeholt hatte, stellte ich im ersten Moment erfreut fest, dass die Skala von unten bis zur 150 sogar in 25er-Schritte unterteilt war, so dass ich schon dachte, noch etwas genauer als erwartet ablesen zu können.
Beim zweiten Hinsehen musste ich dann stutzen:
"Zucker" stand da drüber. Nicht wie erwartet, "ml", sondern nur geeignet, um Zucker wohl 25-Gramm-weise abzumessen.

Die Maßskala für Flüssigkeiten hatte eine andere Proportionalität als die Zuckerskala und nur die simple Einteilung 1/8 Liter, 1/4 Liter und 1/2 Liter.

Ich bin dann mit einem anderen Messbecher auf ziemlich genau 200 ml Regenwasser gekommen.


Was aber hätte ich machen können, wenn ich nur diesen ersten Messbecher gehabt hätte?


Mal angenommen, ich wäre nicht in der Lage, Radius und Höhe des aus dem Wasser gebildeten Kegelstumpfes zu messen (nicht, weil ich die Formeln für den Kegelstumpf nicht auswendig kann, *g* sondern z.B. um beim Eintauchen nichts nass machen zu wollen), könnte ich allein aus drei entlang der Mantellinie abgelesenen Abständen und mit Vertrauen auf die korrekte Eichung der Skala ausrechnen, wie viel Wasser drin war?


Die drei außen an der Mantellinie ablesbaren Abstände waren:
30.5 mm zwischen der 1/8l- und 1/4l- Marke,
41 mm zwischen der 1/4l- und 1/2l- Marke,
und das Wasser stand 9mm unter der 1/4l-Marke.

Irgendwas sagt mir, dass dies reichen könnte, um das Wasservolumen bestimmen zu können, ich habe aber außer einem totalen Formelchaos mit bis zu vierten Potenzen vom Radius nichts brauchbares herausbekommen.

Es würde mir schon reichen, wenn mir jemand einen Weg zeigen könnte, bei dem am Ende so etwa zwischen 190 und 210 ml herauskämen.
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Gast2
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 23:51:   Beitrag drucken

Hallo Lutz,
[Nebenbemerkung:
Radius ausrechnen geht auch:
pi*r²*(30,5)mm=(1/4-1/8)Liter
=>
pi*r²*30,5mm=(1/8)Liter
=>
r²=(1/8)*(1/pi)*(1/30,5)*(1Liter/1mm)
=> r durch Wurzelziehen!
Wenn ich nun wüßte, wieviel mm³ 1 Liter sind? Ich kenne das Umrechnungsmaß leider nicht...
1 Liter = ? m³= ? *(1000mm)³=? * 10^9 mm³
]

Nun zur Aufgabe:
Es reichen folgende Angaben:
30.5 mm zwischen der 1/8l- und 1/4l- Marke
Denn das heißt:
(1/4)-(1/8)=(1/8) Liter entspricht 30,5mm.
Nun benutzen wir:
Das Wasser stand 9mm unter der 1/4l-Marke.
30,5 mm -> 1/8 Liter
=>
61 mm -> 1/4 Liter
=>
(61-9)=52 mm -> (52/61)*(1/4)Liter=0,213...Liter=213,...ml

Gruß
Gast2

PS: Keine Garantie auf Fehlerfreiheit!
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Gast2
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 23:57:   Beitrag drucken

Ach Sorry,
Kegelstumpf Meßbecher. Bitte an die anderen:
grünen Text nicht überlesen!
Hab mich auch schon gerade gewundert, dass zischen 1/4 und 1/8 genau 30,5mm liegen und zwischen 1/2 und 1/4 genau 41mm, und nicht 61mm...

Sorry
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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Juli, 2002 - 10:12:   Beitrag drucken

Hallo Lutz,

nach einigen Umformungen erhält man die Volumsformel
V(s,r,a) = p*s*((sin(3a)+sin(a))*s² + 6*sin(2a)*r*s +12*sin(a)*r²)/12
Dabei ist r der Bodendurchmesser, a der Steigungswinkel der Mantellinie und s die Länge der Mantellinie (vom Boden weg gemessen). Sei s0 der Abstand der 1/8l-Marke vom Boden.

Also 3 Unbekannte (s0,r,a) und 3 nichtlineare Gleichungen
V(s0,r,a) = 125 ml
V(s0+30.5mm,r,a) = 250 ml
V(s0+30.5mm+41mm,r,a) = 500 ml

Ich hab nicht versucht das exakt zu lösen (müsste aber theoretisch möglich sein). Jedenfalls ist die numerische Lösung:
s0 = 55.4 mm
r = 20.7 mm
a = 77°

Damit ergibt dein Messwert V(s0+30.5mm-9mm,r,a) = 208.2 ml
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Lutz K.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 17:38:   Beitrag drucken

Hallo,
Danke für die Angabe der Formel.
Aber ich konnte mit meiner Rechnung noch nicht auf dasselbe Ergebnis kommen. Ich weiß nicht, wo der Fehler liegen kann.


Der Kegelstumpf hat bei mir folgende Bestandteile:
- zwei parallele Kreise: der kleinere hat Durchmesser r, der größere hat Durchmesser R.
- die Höhe des Kegelstumfs ist der Abstand dieser Kreise und heißt h.
- die Seitenkante, also die Länge der Mantellinie, heißt s.
- alpha ist der Winkel zwischen dieser Mantellinie und dem größeren der beiden Durchmesser R.
- Denkt man sich den Stumpf durch eine unsichtbare Spitze zu einem vollständigen Kegel ergänzt, hätte er die Höhe H.


Das Volumen dieses vollständigen Kegels ist Vv=Pi/3*H*R²/4=Pi*H*R²/12

Das Volumen der unsichtbaren Spitze (welche auch ein Kegel ist), ist
Vs=Pi/3*(H-h)*r²/4


Das Volumen des Kegelstumpfes ergibt sich dann als V=Vv-Vs
also V=Pi/3*1/4*(HR²-(H-h)r²)
= Pi/12 *(HR² - Hr² + hr²)
= Pi/12 *(H*(R² - r²) + hr²)


Jetzt muss ich H,R und h durch s und alpha (kurz: a) ersetzen, um auf die Formel für V(s,r,a) zu kommen.

nach dem Strahlensatz ist (H-h)/H = r/2 / (R/2)
das ergibt nach H umgestellt H = R*h/(R-r)
und ich erhalte
V = Pi/12 *(R*h/(R-r)*(R² - r²) + hr²)


Das R kann ersetzt werden nach:
R/2 - r/2 = s*cos(a) => R = r + 2*s*cos(a)
und ich erhalte

V = Pi/12 *((r + 2*s*cos(a))*h/((r + 2*s*cos(a))-r)*((r + 2*s*cos(a))² - r²) + hr²)


V = Pi/12 *((r + 2*s*cos(a))*h/(2*s*cos(a)) * ((r + 2*s*cos(a))² - r²) + hr²)


V = Pi/12 *((r + 2*s*cos(a))*h/(2*s*cos(a)) * (r² + 4*r*s*cos(a) + 4*s²*(cos(a))² - r²) + hr²)


V = Pi/12 *((r + 2*s*cos(a))*h/(2*s*cos(a)) * 4*s*cos(a)*(r + s*cos(a) ) + hr²)


V = Pi/12 *( (r+ 2*s*cos(a))*2*h *( r + s*cos(a) ) + hr²)




Das h kann ersetzt werden nach:
h = s*sin(a)

V = Pi/12 *( (2r+ 4*s*cos(a))*s*sin(a) *( r + s*cos(a) ) + s*sin(a)*r²)

und dann ist V nur noch von s,r und a abhängig
V(s,r,a) = Pi/12 *( (r+ 2*s*cos(a))*2*s*sin(a) *( r + s*cos(a) ) + s*sin(a)*r²)

V(s,r,a) = Pi/12 *( (r+ 2*s*cos(a) )*( r + s*cos(a) ) *2*s*sin(a) + s*sin(a)*r²)


V(s,r,a) = Pi/12 *( (r² + r*s*cos(a) + 2*r*s*cos(a) + 2*s^2*(cos(a))^2) *2*s*sin(a) + s*sin(a)*r²)



V(s,r,a) = Pi/12 *( (r^2 + 3*r*s*cos(a) + 2*s^2*(1-(sin(a))^2) ) *2*s*sin(a) + s*sin(a)*r²)


V(s,r,a) = Pi/12 *( (r^2 + 3*r*s*cos(a) + 2*s^2 -2*s^2*(sin(a))^2 ) *2*s*sin(a) + s*sin(a)*r^2)




V(s,r,a) = Pi/12 *( (r^2*2*s*sin(a) + 3*r*s*cos(a)*2*s*sin(a) + 2*s^2*2*s*sin(a) -2*s^2*(sin(a))^2*2*s*sin(a) ) + s*sin(a)*r^2)


V(s,r,a) = Pi/12 *( (r^2*2*s*sin(a) + 3*r*s^2*sin(2*a) + 2*s^2*2*s*sin(a) -2*s^2*(sin(a))^2*2*s*sin(a) ) + s*sin(a)*r^2)


V(s,r,a) = Pi/12 *s*( 2*r^2*sin(a) + 3*r*s*sin(2*a) + 4*s^2*sin(a) -4*s^2*(sin(a))^3 + sin(a)*r^2)




V(s,r,a)
= Pi/12 *s*( 3*r^2*sin(a) + 3*r*s*sin(2*a) + 4*s^2*(sin(a) -(sin(a))^3) )


aber wie komme ich dann auf die Formel
V(s,r,a) = Pi*s*((sin(3a)+sin(a))*s² + 6*sin(2a)*r*s +12*sin(a)*r²)/12
?
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 09:30:   Beitrag drucken

Hallo Lutz, ich hab deine Umformungen nicht bis zum Schluss nachgerechnet, aber folgendes ist mir aufgefallen:

> Das Volumen dieses vollständigen Kegels ist Vv=Pi/3*H*R²/4=Pi*H*R²/12

da ist das /4 zuviel (nur Grundfläche mal Höhe /3 ) Vv=Pi*H*R²/3
das tritt dann im Folgenden immer wieder auf (auch beim Kegelstumpf)

> R/2 - r/2 = s*cos(a) => R = r + 2*s*cos(a)

da ist /2 nicht richtig (Radius ist schon der halbe Durchmesser) R = r + s*cos(a)

Du solltest dann auf die gleiche Formel wie ich kommen, wenn du sin(a)^3 = (3sin(a)-sin(3a))/4 verwendest.

Meine Formel ist ziemlich sicher richtig, ich hab das Zahlenbeispiel r=1, a=60°, s=2 (damit h=√3, R=2) auf zwei Arten gerechnet:
Kegelstumpfvolumen nach Bronstein: V = ph(R²+r²+Rr)/3 = 7p/√3
der selbe Wert kommt auch bei meinem V(2,1,60°) heraus.
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Lutz K.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 12:54:   Beitrag drucken

Danke. Mit r meinst du also den Radius der kleineren Kreisscheibe und nicht den Durchmesser?

Ich habe mich zwar gewundert, dass du oben festgelegt hast:
"Dabei ist r der Bodendurchmesser"
aber da bei mir wie bei dir auch s*Pi/12 als Vorfaktor herauskam, habe ich die Bezeichnung akzeptiert.

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