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Beitrag |
    
MelMel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. März, 2009 - 15:54: | 
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Hallo
ich bin das erste mal hier im forum und ich hoffe mir kann jemand helfen. ich muss folgende regeln von de morgan beweisen und weis nicht wie ich das machen soll:
(AuB)^c =A^cnB^c
(AnB)^c =A^cuB^c |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 828
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. März, 2009 - 00:40: |
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Hallo MelMel,
bringst Du da nicht etwas durcheinander? Das sind doch nicht die Regeln von de Morgan. Vielmehr sieht das nach einem Distributivgesetz aus, nicht ganz richtig geschrieben.
Die Regeln von de Morgan lauten:
nicht (A und B) <=> (nicht A) oder (nicht B)
nicht (A oder B) <=> (nicht A) und (nicht B)
Die Distributivgesetze für Mengen (auch für die Aussagenlogik) heißen:
A n (B u C) = (A n B) u (A n C)
A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
In der Aussagenlogik sieht das so aus:
A ^ (B v C) = (A ^ B) v (A ^ C)
A v (B ^ C) = (A v B) ^ (A v C)
Der Beweis für alle diese Regeln verläuft über Wahrheitswerttabellen. Du setzt für A, B und C alle 8 Kombinationen von www bis fff ein und siehst nach, ob auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe herauskommt:
A B C (BvC) A^(BvC) (A^B) (A^C) (A^B)v(A^C)
w w w...w.....w.......w......w........w
w w f...w.....w.......w......f........w
w f w...w.....w.......f......w........w
w f f...f.....f.......f......f........f
f w w...w.....f.......f......f........f
f w f...f.....f.......f......f........f
f f w...w.....f.......f......f........f
f f f...f.....f.......f......f........f
Die 5. und die letzte Spalte stimmen überein, also sind die Ausdrücke äquivalent.
Viele Grüße,
Jair |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1331
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. März, 2009 - 02:02: |
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@Jair: Ich vermute MelMel meint mit ^c die Komplementärmenge.
Dabei kann man den Beweis einfach schrittweise vornehmen.
Was bedeutet es, wenn ein Element (nennen wir es x) nicht in der Vereinigung von A und B ist?
-> Es liegt weder in A, noch in B.
Und was sagt uns das dann?
-> Es liegt außerhalb von A und auch außerhalb von B
Und was lässt sich daraus folgern?
-> Es muss in der Vereinigung der Komplementärmengen liegen.
Das ganze nun noch etwas mathematischer formuliert und schon hat man bewiesen, dass (A u B)c Teilmenge von Ac n Bc gilt
Was fehlt, ist die Rückrichtung (evt. ergibt sie sich auch aus den ersten Schlußfolgerungen) und die zweite Behauptung. |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 131
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. März, 2009 - 03:47: |
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@Ingo,
Der Ansatz von Jair kann auch zielführend für die Regeln von De-Morgan verwendet werden. Die Herleitung über Wahrheitstabellen sieht dann so aus:
P.S. Vielleicht kannst Du die Frage von MelMel in einen neuen Beitrag mit geeigneter Klassenstufe, Rubrik und einem aussagekräftigen Titel verschieben, so daß auch Antworten für den Gast aus der 1.-7. Klasse zu ihrem Recht kommen. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 829
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. März, 2009 - 10:19: |
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@Ingo:
Danke für den Hinweis! Die Schreibweise über das hochgestellte c kannte ich noch gar nicht.
Ich nehme an, Du hast in Deiner Überlegung nur einen kleinen Schreibfehler. Am Ende muss es natürlich heißen:
Es muss im Schnitt der Komplementärmengen liegen.} |
