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Schaf
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 08:30: | 
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Ich soll als Hausaufgabe für die Aufgaben a bis e Gleichungen aufstellen. Komme leider damit nicht klar.
a) Berechne die Summe der natürlichen Zahlen von 5 bis 97! [ richtig? n(n+1)\2 ]
b) Berechne die Summe der ungeraden Zahlen von 5 bis 97!
c) Berechne die Summe S2 der zweistelligen Zahlen, deren Ziffern alle ungerade sind!
d) Berechne die Summe S4 der vierstelligen Zahlen, deren Ziffern alle ungerade sind!
e) Gib einen allgemeinen Term Sn für die Summe der n-stelligen Zahlen an, deren Ziffern alle ungerade sind!
Könnte eure Hilfe gebrauchen! Danke! |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 09:41: |
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Hallo!
Das sind arithmetische Reihen. Die Summenformel dafÜr lautet:
s_n = (a_1 + a_n)*n/2
a_n = a_1 + (n - 1)*d
s_n = [2*a_1 + (n - 1)*d]*(n/2)
a_1 .. erstes Glied
d .. Differenz
a_n .. n-tes (allg.) Glied
Also bei
a)
a_1 = 5; d = 1
aus 97 n berechnen: 97 = 5 + (n-1)*1 >> n = 93
in s_n einsetzen ...
b) analog, d = 2 !
c)
Die Zahlen lauten
11, 13, .., 19
31, 33, .., 39
51, 53, .., 59
71, 73, .., 79
91, 93, .., 99
Wenn nun jeweils senkrecht summiert wird, ist die Differenz 20, bzw. n = 5
Die Gesamtsumme s_2 ist
= (11 + 91)*5/2 + (13 + 93)*5/2 + (15 + 95)*5/2 + (17 + 97)*5/2 + (19 + 99)*5/2 =
(n/2 ausklammern)
= (5/2)*(11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99)
(in der Klammer immer den ersten und letzten Summand nehmen, ergibt immer 5 mal 110)
= (5/2)* 5 * 110 = 5*5*55 = ..
d) .... (Vorgang wie bei c))
e) Verallgemeinerung von c), gelingt dir das nun selbst?
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 14., September. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 10:51: |
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Zu e) sei noch das Ergebnis verraten:
S_n(n-stellig_unger) = (5^(n+1))*(10^n - 1)/9 |
Schaf
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 11:18: |
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Danke für die Lösung und Hinweise, muss mich aber heute noch dabei richtig reindenken, weil ich das auf Anhieb nicht begreife. Woher weiß man, dass es sich um arithmetische Reihen handelt und gibt es eine allgemeingültige Gleichung, die man anwenden kann bei solchen Reihen? |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 13:43: |
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Die "allgemein gÜltigen Gleichungen" wurden schon am Beginn meiner ersten Nachricht angegeben.
Arithmetische Folgen / Reihen haben die Eigenschaft, dass die Differenz (d) zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
a_(n+1) - a_n = d
a_7 - a_6 = d
a_99 - a_98 = d
a_2 = a_1 + d
a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d
a_n = a_1 + (n - 1)*d .. Bildungsgesetz
Allgemein, solange nur die Glieder behandelt werden, spricht man von einer Folge (Glieder durch Beistriche getrennt), wenn man alle Glieder summiert (exakterer: .. die Folge der Partialsummen behandelt), spricht man von einer Reihe (Glieder mit + verbunden >> Reihen-Summe).
Gr
mYthos |
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