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Hupe_4 (Hupe_4)
Neues Mitglied
Benutzername: Hupe_4
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 14:11: | 
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Ein Restaurantbesitzer kauft Salat ein. Der Großhandel bietet 2 Sorten an, eine bessere mit etwa 10 Prozent Abfall zu 12.40 Euro für 10 Kilo und eine mittlere mit 40 Prozent Abfall zu 11.20 Euro für 10 Kilo. Er benötigt wenigstens 24 Kilo verlesenen Salat (also ohne Abfall). Den Abfall nutzt er indem er damit seine Kaninchen füttert. Deshalb will er wenigstens sechs kilo Abfall haben. Welcher Einkauf ist unter diesen Umständen am günstigsten?
Danke schon mal! |
Häslein (Häslein)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein
Nummer des Beitrags: 128
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 16:41: |
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Hallöchen,
also, die antwortet lautet, dass der 2te Einkauf günstiger ist.
Erklärung:
Beim ersten Angebot hat der Besitzer, wenn er 10kg Salat kauft, 1kg Abfall und 9kg verlesenen Salat. Er braucht aber mindestens 6kg Abfall. Deshalb müsste er insegesamt mindestens 60kg Salat kaufen, um 6kg verfüttern zu können. Er würde also mindestens 6 mal den Preis von jeweils 12,40 Euro bezahlen müssen. Das wären dann 74,40 Euro. |
Häslein (Häslein)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein
Nummer des Beitrags: 129
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 16:48: |
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Beim zweiten Angebot hat er, wenn er 10kg Salat kauft, 4kg Abfall und 6kg verlesenen Salat.
(Diesmal musst du nicht beachten, dass er genug Abfall, sondern dass er genug verlesenen Salat hat. Das siehst du daran, dass bei 10kg Salat ja schon 4kg Abfall sind und er nicht viel mehr für seine Tiere benötigt.)
Um 24kg verlesenen Salat zu haben, muss er 4 mal 10kg kaufen, denn nur dann hat er 4 mal 6kg verlesenen Salat übrig, also insgesamt 24kg, die er braucht. Nun musst du noch überprüfen, ob auch genug Abfall bleibt, indem du 4*4kg=16kg rechnest. (Denn erkauft 4 mal 10kg und hat je 4kg Abfall.)
Bei diesem Angebot muss er also nur 4 Steigen á 10kg kaufen, um die Bedingungen zu erfüllen. Er müsste 4 * 11,20 Euro bezahlen und das sind nur 44,80 Euro. Und somit ist dieses Angebot billiger.
Liebe Grüße
Jasmin |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 725
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 17:55: |
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Hallo Hupe und Häslein!
Ich fürchte, ganz so einfach ist die Aufgabe doch nicht. Es geht ja wohl um eine Aufgabe zur linearen Optimierung. Nun habe ich mich damit noch nicht beschäftigt, ich weiß auch nicht, wieviel Hupe von diesem Thema kennt. Aber eines ist ja offensichtlich:
Ein wesentlich günstigeres Angebot erhält man, wenn man von Sorte II 10 kg nimmt, von Sorte I aber 20 kg. Der Gesamtpreis ist dann
2*12,40€ + 1*11,20€ = 36€
Viele Grüße
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 726
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 18:13: |
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Ich habe mir die Aufgabe noch einmal etwas näher angesehen. Die Lösung oben (20kg Sorte I und 10 kg Sorte II) ist die günstigste.
Dafür gibt es diese Begründung:
Wenn der Restaurantbesitzer x kg von Sorte I nimmt und y kg von Sorte II, so muss er 1,24*x + 1,12*y Euro dafür bezahlen.
Die beiden Bedingungen die er erfüllen muss, lauten:
(90% von x) + (60% von y) ³ 24 (wegen des guten Salats)
(10% von x) + (40% von y) ³ 6 (wegen des Abfalls)
Also:
0,9x + 0,6y ³ 24 und
0,1x + 0,4y ³ 6
Die beiden Ungleichungen führen auf
y ³ 40 - 1,5x und
y ³ 15 - 0,25x
Die beiden Randgeraden
y = 40 - 1,5x und y = 15 - 0,25x
schneiden sich im Punkt 20/10
Da beide Bedingungen gleichzeitig zutreffen müssen, darf man nur Punkte nehmen, die auf der jeweils höher verlaufenden Randgeraden (oder darüber) liegen.
Das bedeutet: für x £ 20 nimmt man im günstigsten Fall die Punkte auf der Randgeraden
y = 40 - 1,5x,
für x ³ 20 die Punkte auf der Randgeraden
y = 15 - 0,25x.
Für die Preisfunktion ergibt sich damit für x £ 20:
P(x) = 1,24x + 1,12(40-1,5x) = 44,8-0,44x
Für x³ 20 ergibt sich
P(x) = 1,24x + 1,12(15-0,25x) = 0,96x+16,8
Bis zu x=20 fällt der Funktionsgraph also (wegen der Geradensteigung -0,44), danach steigt er an (wegen der Geradensteigung 0,96).
Demnach liegt der günstigste Preis beim Schnittpunkt der beiden Geraden (20/10). Das bedeutet bei 20kg von Sorte I und 10 kg von Sorte II.
Viele Grüße
Jair
(Beitrag nachträglich am 24., Juni. 2004 von jair_ohmsford editiert) |
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