| Autor |
Beitrag |
    
Jürgen M.
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 14:26: | 
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Behauptung: Ist x0 Î Z Nullstelle von f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x² +...+ an * x^n, so gilt: x0|a0 (x0 teilt a0).
Beweis: Ist x0 Nst. von f(x), so besitzt f(x) die Darstellung f(x) = (x-x0) * g(x), wobei g(x) ein Polynom vom Grade n-1 ist.
Also: f(x) = (x-x0) * (b0 + b1 * x + b2 * x² +...+ bn-1 * x^(n-1))
= x * (b0 + b1 * x + b2 * x² +...+ bn-1 * x^(n-1)) - x0 * (b0 + b1 * x + b2 * x² +...+ bn-1 * x^(n-1))
= b0 * x + b1 * x² +...+ bn-1 * x^n - b0 * x0 - b1 * x0 * x - b2 * x0 * x² -...- bn-1 * x0 * x^(n-1)
= -b0 * x0 + (b0 - b1 * x0) * x + (b1 - b2 * x0) * x² +...+ (bn-2 - bn-1 * x0) * x^(n-1) + bn-1 * x^n
f(x) ist aber auch darstellbar als
f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x² +...+ an * x^n
folglich ist:
a0 = -b0 * x0
Da a0 und x0 ganzzahlig sind, muss auch -b0 ganzzahlig sein => x0|a0
Damit ist die Aussage bewiesen.
mfG |
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