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fahod (Fahod)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 10:42: | 
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Hallo Mathematiker!
Ich sitze jetzt seit Stunden, Tagen, Wochen an meiner Facharbeit und komme bloß krümelweise weiter. Die Aufgabe der Facharbeit ist erst einmal eine Diskussion der Kurve, dann eine Betrachtung interessanter Gesichtspunkte der Kurve.
Das Problem ist, dass unser Mathelehrer seit Jahren (Jahrzehnten?) keinen Mathe-LK mehr geleitet hat. Bei der Facharbeit hat er eigentlich jedem das gleiche Thema gegeben und nur das Radienverhältnis variiert bzw. Hypo- und Epizykloide ausgetauscht.
Bei den Verhältnissen 1:1 bis 3:1 scheint die Sache ja verhältnismäßig einfach, aber bei 5:1 sind schon die Nullstellen für mich ein echter Knacker. Selbst unser Lehrer hat das nicht wirklich hinbekommen....
Hilfreiche Seite: hier
Die Parameterdarstellung für die Epizykloide 5:1 lautet:
y = 6 * sin(a) - sin( 6 * a)
x = 6 * cos(a) - cos( 6 * a)
wobei a der Drehwinkel des festen Kreises sein soll.
Wie gesagt, schon bei den Nullstellen hab ich nichts wirklich zufriedenstellendes herausbekommen.
Ich kann hier mal skizzieren, wie ich vorgegangen bin :
Über Umformungen ( sin(2a)=2*sin(a)*cos(a) ; sin(3a)=3*sin(a)-4*sin³(a) ; sin(6*a)=sin(2*3a) ) bin ich zu der folgenden Gleichung gekommen:
y = 6* sin(a) - 24*sin(a) * cos³(a) + 18*sin(a)*cos(a) + 32*sin³(a) * cos³(a) - 24 sin³(a)*cos(a)
dann kann man sin(a) ausklammern, man erhält:
y = sin(a) * (6 - 24*cos³(a) + 18 * cos(a) + 32 * sin²(a) * cos³(a) - 24 * sin²(a) * cos(a))
Wenn man gleich Null setzt, erhält man für die ersten beiden Nullstellen aN1 = 0 (bzw. 2*p) und aN2 = p
Über den Graphen dürfen wir (laut Lehrkraft) schliessen, dass es keine weiteren Nullstellen gibt. Es wäre natürlich schön, wenn man zeigen könnte, dass der restliche Term nicht Null werden kann.
Mit Hilfe weiterer Umformungen ( sin²(a) + cos²(a) = 1 ) kommt man zu der Gleichung:
0 = -32 * cos5(a) + 32 * cos3(a) - 6 * cos(a) + 6
da ich keine Ahnung habe, wie man die Gleichung auflösen kann (Salzsäure raufkippen?), hab ich da erstmal aufgegeben (Unser Lehrer hat irgendwas von wegen Näherung gefaselt) und bin zur ersten Ableitung übergegangen:
y'(x)= (Ableitung y nach a) / (Ableitung x nach a) = ( 6*cos(a) - 6*cos(6*a) ) / ( 6*sin(6*a) - 6 * sin(a) )
[Ist die Schreibweise eigentlich so richtig, wie uns unser Lehrer das gesagt hat? Eigentlich müsste es doch sein y'(a), da es ja eigentlich die Ableitung der Funktion y(x) in Abhängigkeit von a ist, oder? ]
Mögliche Extremstellen:
y'(x) = 0 = 6*cos(aN) - 6* cos(6aN) [ für (6*sin(6aN) - 6*sin(aN)) ¹ 0 ]
cos(aN) = cos (6*aN)
Damit man zu den Nullstellen kommt, kann man in diesem Fall 6*a = 360 - a setzen. Man erhält für aN1 = 360/7 ° ; weiterhin kann man 6*a = 360 + a setzen und erhält aN2 = 360/5° ; aN3 = 720/7° ; aN4 = 720/5° usw..., wobei die Nullstellen aN2, aN4, aN6 etc. wegfallen, da sie auch Nullstellen der Nennerfunktion sind... so weit, so gut....
In diesem Fall bekomme ich erst bei der zweiten Ableitung Probleme. Wenn ich mich nicht verrechnet habe:
y''(x)= ( (-6*sin(a)+36*sin(6a)) * (6*sin(6a)-6* sin(a)) - (36*cos(6a)-6*cos(a))*(6*cos(a)- 6*cos(6*a)) ) / (6*sin(6a) - 6*sin(a))²
Aber man könnte auch hier über den Graphen schließen: Es gibt keine Wendepunkte und auch keine Sattelpunkte, also ist die 2. Ableitung nicht notwendig... Aber auch hier wäre es wieder schön, wenn man nicht über den Graphen schließen müsste.
Ein weiteres Problem bei unserer Facharbeit ist aber, dass wir den Abstand des Punktes vom Mittelpunkt des rollenden Kreises variieren sollen:
In diesem Fall stellt schon das Finden der Nullstellen ein größeres Problem für mich dar. Alle Nullstellen finde ich nur, wenn ich c=6 setze und wie bei den Nullstellen der Ableitung vorgehe. Eine andere Möglichkeit ist mir dabei nicht eingefallen. Wenn man aber so vorgeht, bekommt man erstens nicht die Nullstellen für beliebige c, und zweitens bekommt man Probleme bei den Nullstellen der Ableitung.
An dieser Stelle wäre es, wo ich euch ergebens und flehentlich um Hilfe beten möchte. Ich wäre für jede Art von Hilfe, sei es nur ein Stichwort, sei es eine Hilfe zum Ansatz, extrem dankbar.
Die zweite Aufgabe zur Facharbeit ist ja, interessante Gesichtspunkte der Epizykloide zu analysieren oder zu betrachten. Ich würde anfangen mit Bogenlänge und Flächeninhalt. Interessant wäre es aber herauszufinden, wie man c wählen müsste, damit sich die einzelnen Bögen berühren:
gegen hilfreiche Tips hätte ich auch hier nichts einzuwenden, obwohl mir die Nullstellenberechnung doch viel viel wichtiger ist.
vielen, vielen, vielen Dank im Voraus. |
ddd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 16:32: |
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intsin
