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Kugel in einem Quader

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Körper » Kugel in einem Quader « Zurück Vor »

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Witting (Witting)
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Benutzername: Witting

Nummer des Beitrags: 136
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 00:15:   Beitrag drucken

hallo,

Ich würde gerne wissen, ob mein Ansatz bei folgender Aufgabe richtig ist.

Man soll zeigen, dass die Vektoren a= (2;1;0),
b=(2;-4;0) und c =(0;0;3) vom Ursprung aus einen Quader aufspannen. Dann soll man eine Gleichung einer Kugel bestimmen, die durch die Ecken des Quaders geht.

Mein Ansatz wäre Die "Eckpunkte" des Quaders in die allgemeine Kugelgleichung einzusetzen und somit drei Gleichungen, sprich ein Gleichungssystem zu erhalten. Somit könnte ich eine Lösung, bzw. den Mittelpunkt der Kugel ermitteln.

Liege ich in meinem Ansatz falsch?

Vielen Dank im Voraus,
K.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1610
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 01:11:   Beitrag drucken

Hi!

Dein Ansatz ist richtig, nur müssten im Allgemeinen 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten (3 Koordinaten des Mittelpunktes und der Radius der Kugel) aufgestellt werden. Somit brauchst du noch den "4. Punkt" des Quaders ...

Es ist vielleicht von Vorteil, die Aufgabe geometrisch zu betrachten. Führe einen Diagonalschnitt durch, dann ist ersichtlich, dass der Mittelpunkt der dem Quader umschriebenen Kugel im Schnittpunkt der Raumdiagonalen liegt. Somit ist dann der Radius ... (?)

Gr
mYthos
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Witting (Witting)
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Benutzername: Witting

Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 10:34:   Beitrag drucken

Hallo Mythos,

wenn ich dass richtig sehe, wäre der Radius dann der Abstand vom Mittelpunkt zum Eckpunkt des Quaders.

Gruss, K.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1612
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 14:58:   Beitrag drucken

Ja; rechne das mal aus und veröffentliche - zur Verifikation - dein Ergebnis.

Gr
mYthos
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Witting (Witting)
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Benutzername: Witting

Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 22:30:   Beitrag drucken

Hallo,
Hab jetzt erstmal das Gleichungssystem aufgestellt:

K1: (2-m1)^2 + (1-m2)^2 + m3^2 = r^2
K2: (2-m1)^2 + (-4-m2)^2 + m3^2 = r^2
K3: m1^2 + m2^2 + (3-m3)^2 = r^2
K4: m1^2 + m2^2 + m3^2 = r^2

(Die vierte Gleichung hab ich ermittelt indem ich den Ursprung (0;0;0) als Punkt des Quaders und somit als Punkt der Kugel betrachtet habe)

Lösung: m1= 3/4
m2= -3/2
m3= 2/3
Vielen Dank im Voraus,
K.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1614
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 09:21:   Beitrag drucken

Rechne nochmals durch, die Lösung ist nicht richtig; den Mittelpunkt bekommst du überdies leichter, wenn du den Mittelpunkt einer Raumdiagonale bestimmst.

[m1 = 2; m2 = -3/2; m3 = 3/2]

Gr
mYthos
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Witting (Witting)
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Benutzername: Witting

Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 17:48:   Beitrag drucken

Hmm, klar, hab die letzte Gleichung falsch aufgestellt. Also müsste dass dann so aussehen:

K1: (2-m1)^2 + (1-m2)^2 + m3^2 = r^2
K2: (2-m1)^2 + (-4-m2)^2 + m3^2 = r^2
K3: m1^2 + m2^2 + (3-m3)^2 = r^2
K4: (1-m1)^2 + (-2-m2)^2 +m3^2 =r^2

m1= 2; m2= -3/2; m3=3/2

Erstmal Danke für den Hinweis (ich glaub der geometrische Ansatz ist doch wesentlich einfacher


Ich hätte, aber noch eine Frage:
Wie zeige ich dass die Vektoren a= (2;1;0),
b=(2;-4;0) und c =(0;0;3) vom Ursprung aus einen Quader aufspannen ?

Vielen Dank,
K.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1616
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 22:08:   Beitrag drucken

Die (von O ausgehenden) Vektoren a, b liegen in der x,y - Ebene und stehen aufeinander senkrecht (deren skalares Produkt ist 2*2 + 1*(-4) = 0). c liegt in der z-Achse, steht somit senkrecht auf der x,y - Ebene und damit auch senkrecht auf a und b.

Gr
mYthos

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