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Anzahl der Ebenen die den Absatnd 2 z...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Anzahl der Ebenen die den Absatnd 2 zum Ursprung haben « Zurück Vor »

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Witting (Witting)
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Benutzername: Witting

Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 14:51:   Beitrag drucken

Hallo,

Gesucht sind alle Ebenen durch die Punkte A(2;3;4)und B(6;5;16) die zum Ursprung den Absatnd 2 haben. Welchen Ansatz müsste ich hier wählen?

Vielen Dank im Voraus,
K.
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 15:05:   Beitrag drucken

Hi, K,
wenn Du im Archiv stöberst unter "Ebenen",
dann findest Du genau dieses Beispiel einige Male,
sehr ausführlich und auf verschiedene Arten
von megamath bearbeitet!

liebe Grüße
elsa
*****
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1409
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 15:25:   Beitrag drucken

A(2|3|4)
B(6|5|16)
C(r|s|t)

e: x = (2;3;4) + p(2;2;12) + q(r-2;s-3;t-4)

k: x^2+y^+2+z^2 = 2^2

(2+2p+qr-2q)^2 + (3+2p+qs-3q)^2 + (4+12p+qt-4q)^2 = 4
r,s,t darfst du beliebig wählen, mußt aber darauf achten, daß p und q nur eine Lsg. haben;
=> ausquadrieren, und einmal nach p = und einmal nach q = ansetzen und die beiden Auadrücke unter der Wurzel müssen 0 sein, ergibt Dir 2 Gleichungen in p,q

Weiter kommst selber
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Witting (Witting)
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Benutzername: Witting

Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 16:12:   Beitrag drucken

@Mainzi: Alles klar. Ist ja eigentlich ganz einfach, wenn man den Ansatz hat.

Danke!!
K.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1410
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 16:57:   Beitrag drucken

(2+2p+qr-2q)^2 + (3+2p+qs-3q)^2 + (4+12p+qt-4q)^2 = 4
4+4p^2+q^2r^2+4q^2 + 8p+4qr-8q+4pqr-8pq-4q^2r +
9+4p^2+q^2s^2+9q^2 + 12p+6qs-18q+4pqs-12pq-6q^2s +
16+144p^2+q^2t^2-16q^2 + 96p+8qt-32q+24pqt-96pq-8q^2t = 4



152p^2 + (r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3)q^2 + 116p + (4r+6s+8t-58)q + (4r+4s+24t-116)pq + 25 = 0

damit die Terme für Lsg. etwas einfacher werden

152p^2 + Aq^2 + 116p + Bq + Cpq + 25 = 0

I: 152p^2 + (116+Cq)p + (Aq^2 + Bq + 25) = 0
II: Aq^2 + (B+Cp)q + (152p^2 + 116p + 25) = 0

in der Formel ist die Diskrimante b^2-4ac, mehr brauchen wir gar nicht, denn die muß 0 sein

IL: (116+Cq)^2 - 4*152(Aq^2 + Bq + 25) = 0
IIL: (B+Cp)^2 - 4A(152p^2 + 116p + 25) = 0

aus IL folgt:

(116+Cq)^2 - 4*152(Aq^2 + Bq + 25) = 0
(C^2-608A)q^2 + (232C-608B)q - 1744 = 0

weil ja q eindeutig sein muß auch hier wieder die Diskriminante 0setzen

(232C-608B)^2 + 4*1744(C^2-608A) = 0
64(29C-76B)^2 + 64*109(C^2-608A) = 0
29^2C^2 - 2*29C*76B+76^2B^2 + 109(C^2-608A) = 0
950C^2 + 5776B^2 - 4408BC - 66272A = 0
475C^2 + 2888B^2 - 2204BC - 33136A = 0



aus IL folgt:

(B+Cp)^2 - 4A(152p^2 + 116p + 25) = 0
(C^2-608A)p^2 + (2BC-464A)p + (B^2-100A) = 0

weil ja auch hier p eindeutig sein muß auch hier wieder die Diskriminante 0setzen

(2BC-464A)^2 - 4(C^2-608A)(B^2-100A) = 0
(BC-232A)^2 - (C^2-608A)(B^2-100A) = 0
B^2C^2 - 464ABC + 232^2A^2 - B^2C^2 + 608AB^2 + 100AC^2 - 60800A^2 = 0
- 464ABC + 232^2A^2 + 608AB^2 + 100AC^2 - 60800A^2 = 0
A(-116BC + 116^2A + 152B^2 + 25C^2 - 15200A) = 0
A(-116BC + 152B^2 + 25C^2 - 1744A) = 0




2 Fälle:

Fall A = 0:

A = r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3
B = 4r+6s+8t-58
C = 4r+4s+24t-116

475C^2 + 2888B^2 - 2204BC = 0 und A = 0

ergibt 2 Gleichungen in r,s,t

475(4r+4s+24t-116)^2 + 2888(4r+6s+8t-58)^2 - 2204(4r+6s+8t-58)(4r+4s+24t-116) = 0
r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3 = 0

Lösungstrippel (r;s;t) ergeben den jeweils 3ten Punkt der Ebene, für welche die gestellte Bedingung gilt;


Fall A ¹ 0

A = r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3
B = 4r+6s+8t-58
C = 4r+4s+24t-116

-116BC + 152B^2 + 25C^2 - 1744A = 0 und
475C^2 + 2888B^2 - 2204BC - 33136A = 0

auch hier: ergibt 2 Gleichungen in r,s,t
Lösungstrippel (r;s;t) ergeben den jeweils 3ten Punkt der Ebene, für welche die gestellte Bedingung gilt;

der Fall wird ein wenig komplizierter :-)
Mainzi Man,
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Elsa13 (Elsa13)
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Nummer des Beitrags: 127
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 21:38:   Beitrag drucken

Hallo Walter,
schon am Beginn hat sich ein Fehler bei Deiner Rechnung eingeschlichen:
Der Vektor AB ist nicht korrekt!
Das Verfahren scheint mir recht kompliziert zu sein. Ich habe es nicht weiter verfolgt.
Aber K. scheint ja alles klar zu sein....

Gruß von elsa
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1411
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 22:15:   Beitrag drucken

Elsa,

Verflixte 4 :-)

Gibts ein einfacheres Verfahren?

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Elsa13 (Elsa13)
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Nummer des Beitrags: 128
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 04:33:   Beitrag drucken

Hi, Walter,
wie schon gesagt:
exakt dieses Beispiel wurde schon ein paar Mal behandelt,
auf verschiedene Arten,
auch mYthos hat eine schöne Lösung geschrieben.
Mußt nur im Archiv suchen...

herzliche Grüße
elsa
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1503
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 08:14:   Beitrag drucken

Hallo,

dies haben wir tatsächlich schon behandelt, sogar mit denselben Angaben!

http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/show.cgi?25/358516

Gr
mYthos
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1412
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 09:20:   Beitrag drucken

@Elsa ich würd nicht fragen, hätt ich die Lösung von mYthos verstanden ...

1/sqrt(a^2+b^2+c^2) = 2 <-- was ist hier die Ausgangsgleichung?
ax + by + cz = 1 kanns nicht sein

(Beitrag nachträglich am 04., September. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1504
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:14:   Beitrag drucken

@Mainzi

Warum sollte die Ebene nicht in dieser Form

ax + by + cz = 1 [ .. d-normierte oder Abschnittsform]

korrekt sein?

Wenn man die allgemeine Ebenengleichung

ax + by + cx = d (d <> 0, weil sie NICHT durch den Ursprung geht)

normiert, d.h. durch d dividiert, erhält man

(a/d)*x + (b/d)*y + (c/d)*z = 1

das ist die Abschnittsform, weil man daraus die Abschnitte auf den Achsen

d/a, d/b und d/c direkt ablesen kann.

Sinn des Ganzen ist es, dass in der Folge nur mit 3 Variablen weiterzurechnen ist.

Gr
mYthos

(Beitrag nachträglich am 04., September. 2005 von mythos2002 editiert)
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1505
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:19:   Beitrag drucken

a/d, b/d bzw. c/d ersetzen wir nun einfach durch neue Variablen, z.B. a0, b0, c0 oder eben gleich durch a, b, c

Und der Abstand des Ursprunges von dieser Ebene ist lt. Hesse'sche Normalform:

(ax + by + cz - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 .. HNF

jetzt O einsetzen

|-1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)| = 2

Gr
mYthos

(Beitrag nachträglich am 04., September. 2005 von mythos2002 editiert)
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1413
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:40:   Beitrag drucken

aus
(ax + by + cz - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 .. HNF
folgt nie, wenn Du für x,y,z jeweils 0 einsetzt
|-1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)| = 2
sondern
(0*a + 0*b + 0*c - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 <=>
(-1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0
<=>
1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0

sondern Du brauchst die Kugelgleichung

a^2 + b^2 + c^2 = 2^2

siehst Du das anders?

(mit der Kugelgleichung hätt ich es sofort gesehen, wie es geht)
Mainzi Man,
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Elsa13 (Elsa13)
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Nummer des Beitrags: 129
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:02:   Beitrag drucken

Walter,
das erste ist die Hesse'sche Normalform,
und danach, wo mYthos den Punkt einsetzt,
das ist die Hesse'sche Abstandsformel!

Gruß von elsa
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1414
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:16:   Beitrag drucken

Elsa,

ist das

(ax + by + cz - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0

die Abstandformel?

wenn ja, setz mal für x,y,z den Wert 0 ein, und ... was siehst Du?
Mainzi Man,
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Elsa13 (Elsa13)
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Nummer des Beitrags: 130
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:28:   Beitrag drucken

Walter,
das ist die HNF,
also die Hesse'sche Normalform der Ebene!

Gruß
elsa
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1415
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:46:   Beitrag drucken

ich vermisse dann die Abstandsformel,
kann sie jemand hinschreiben, damit wir vom gleichen reden
Mainzi Man,
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1506
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:52:   Beitrag drucken

Abstand (nenne ihn hier r) eines Punktes P von einer Ebene (in R3; analog ist's in R2 mit Punkt und Gerade):

Gleichung der Ebene, auf 0 gebracht:

ax + by + cz - d = 0
Punkt P(x1|y1|z1)

(ax + by + cz - d)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 .. HNF der Ebene

Wenn man NUN den PUNKT einsetzt (genauer: dessen Koordinaten), steht RECHTS NICHT MEHR 0, sondern der gesuchte Abstand r!

(ax1 + by1 + cz1 - d)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = r

Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1507
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 12:00:   Beitrag drucken

Wenn nur der Abstand interessiert, nehmen wir den Absolutbetrag des linken Wertes. Dessen Vorzeichen ist aber auch nicht uninteressant. Man kann damit Auskunft darüber erhalten, ob der Punkt und der Ursprung auf derselben Seite der Ebene (R2: Geraden) liegt oder nicht.

Gr
mYthos
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1416
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 12:05:   Beitrag drucken

Danke mYthos, damit blick ich durch,
hatte diese Form in der Schule nie gehabt - hatten nur die Normalvektorform und die dazupassende Hesse'sche Normalvektorform, und die sieht etwas anders aus
Mainzi Man,
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1508
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 12:25:   Beitrag drucken

Hi,

auch in der Normalvektorform unterscheidet sich die HNF nicht wesentlich von der zuvor dargelegten :

N.X = c ... Gleichung der Ebene in R3 (der Geraden in R2)
No = N/|N| .. normierter Normalvektor

Gleichung der Ebene (Geraden) durch |N| dividieren:
setze c/|N| = c0, bringe auf 0

No.X - c0 = 0

Punkt P: Zur Besimmung des Abstandes d wird statt X der Vektor P = OP (Ortsvektor) eingesetzt:

|No.P - c0| = d

Gr
mYthos
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Witting (Witting)
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Nummer des Beitrags: 119
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Veröffentlicht am Montag, den 05. September, 2005 - 20:05:   Beitrag drucken

@Mainziman:

Nur zum Überblick:

Abstandsformeln:

1. Möglichkeit.

d= | (x -p) * n0

Vektor x ist der Punkt zu dem der Abstand gesucht wird
Vektor p ist, wie bei der Normalenform der Ebene ein Punkt der Ebene

n0 ist der Normalenvektor, also ´der Normalenvektor mit der Länge 1

2. Möglichkeit:

Koordinatendarstellung der Hesseschen Normalenform:
Koordinatengleichung der Ebene E: a1x1+ a2x2+ a3x3= b


(a1x + a2y + a3z -b )/sqrt( a1^2 + a2^2 + a3^2)=0

Abstand d eines Punktes R (r1;r2;r3) von der Ebene E:
d = | (a1r1+ a2r2+ a3r3 -b)/sqrt(a1^2+a2^2+a3^2)|

Vielen Dank für die Mühe,
K.

@ Mythos und elsa: Die Ansätze (und Lösungen) im Forum hab ich auch schon gesehen, aber das eigentliche Ziel der Aufgabe war es einen andern
Weg zu finden.
Aber trotzdem danke für eure Mühe!
K.

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