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Grenzwertbestimmung

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Tinje (Tinje)
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Junior Mitglied
Benutzername: Tinje

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2005
Veröffentlicht am Montag, den 18. April, 2005 - 17:52:   Beitrag drucken

Hallo,

ich sitz mal wieder über meine Matheaufgaben und komme einfach nicht weiter.

Folgende Grenzwerte soll ich bestimmen:

(a) lim [1/(x-2)] - [5/(x²+x-6)]
x-->2
---> Hier scheitere ich glaube ich schon and er 1. Ableitung:

[(0*(x-2)-(1*1)) / (x-2)²] - [(0*(x²+x-6)-(2x+1)*1) / (x²+x-6)²]

= [(-1) / (x-2) ] - [-(2x+1) / (x²+x-6)]

Irgendetwas ist da falsch!?!

(b) lim 1/x (cotx - (1/x))
x-->0
-->Hier weiß ich gar nicht was ich machen soll, da ich mit dem cot nicht zurecht komme.

(c) lim (cotx) hoch (sinx)
x (Pfeil nach unten) 0

---> Hier kann ich mit dem Pfeil nach unten nichts anfangen und auch wieder der cot stört mich.

(d) lim (2 hoch x - 1) hoch (sinx)
x--> 0+

---> Hier habe ich einen Anfang hinbekommen, denke ich:

= e hoch (ln(2x-1) hoch (sinx))
= e hoch [(sinx)ln(2x-1)]

man betrachtet dann nur [(sinx)ln(2x-1)] und da hörts dann auf, da komme ich nicht weiter

(e) lim [ln(1-x)+x²] / [(1+x)hoch m - 1+x²](m e
x-->0 R)

--> Das ist ein komplettes böhmisches Dorf für mich.


Ich freue mich über Hilfe und möchte euch bitten auch zu erklären was ihr da macht, damit ich es vielleicht auch versteh. ;-)

Danke
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 570
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Montag, den 18. April, 2005 - 22:56:   Beitrag drucken

Hi Tinje,

mal zu a) da hast du eine Potenz im ersten Nenner verbummelt. Generell ist es in solchen Faellen mit konstantem Zaehler einfacher, die Formel fuer die Potenzen zu nehmen als fuer die Quotienten:
1/(x-2) = (x-2)^(-1) gibt (-1)*(x-2)^(-2)
Ansonsten wuerde ich nicht sofort ableiten, sondern zuerst die Differenz in eine freundlichere Form bringen: (x^2+x-6) = (x-2)*(x+3), also ist die Differenz umgeformt gerade
(x+3-5)/[(x+3)*(x-2)] = 1/(x+3) fuer x<>2

Fuer den Rest der Aufgaben sollte man ein paar Tatsachen zu den auftretenden Funktionen kennen:
der cot ist definiert als cos/sin, sinx/x -> 1 fuer x->0, genauer sinx = x - x^3/6 + O(x^5),
cos x = 1 - x^2/2 + O(x^4), exp x = 1 + x + O(x^2)
(oder was habt ihr anstelle der Taylorentwicklung an Handwerkszeug mitgekriegt, Hopital und so ?)

Der Pfeil nach unten bedeutet, dass der Grenzuebergang nur einseitig aus dem positiven Bereich erfolgt. 2^x kann man als exp(x*ln2) schreiben.

Bei der b kann man beispielsweise umformen zu
(cot x - 1/x) / x = (x*cos x - sinx)/(x*x*sin x)
=etwa (x - x^3/2 - x + x^3/6) / (x*x*sin x)
= -1/3 * x/sinx -> -1/3

sotux

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