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Bom (Bom)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bom
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Dezember, 2004 - 21:18: | 
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hi!
folgendes problem:
Es gibt einen Punkt P außerhalb von K, so dass alle tangenten an K durch den gesuchten Punkt P die Kugel K jeweils in einem Punkt von dem Schnittkreis k berühren. Bestimmen Sie P.
Ich dachte mir nun, ich habe die Formel für die Polarebene (p-m)(x-m)=r^2 .....................(I)
; m und r sind mir gegeben mit M(-2,1,2) und r=6. Der Schnittkreis k ist durch die Ebene F (F:-2x+y+2z=0) an K bestimmt und ergibt für den Schnittkreis r'=sqrt(27) sowie M'(0,0,0).
So dann habe ich M(-2,1,2) von K und reingesetzt in (I), dann fehlt mir noch x und das gesuchte P. Dann dachte ich mir X ist ja ein punkt auf der Polarebene, die ja F entspricht, dann kann ich mir ja einfach ein Punkt auf F wählen, z.B.: 1,1,0.5 und dann könnte man ja den gesuchten P ausrechnen. Für den Punkt ließ sich das LGS aber nicht lösen  Für 2,2,1 kam ne Lösung, und für ein Punkt der genau auf dem Schnittkreis k liegt auch eine, die aber verschieden war.
Lässt es sich auf diesem Weg nicht lösen? nur wieso? Ich müsste bei diesem Weg bleiben, da es um Ansatzpunkte in einer Klausur geht.
Grüße und fröhliche Weihnachten
BoM |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4708
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Dezember, 2004 - 21:00: |
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Hi BoM
Deine Aufgabe ist etwas unpräzise formuliert.
Ich habe versucht, sie trotzdem zu durchschauen und Dir
eine Lösung anzubieten.
Gegeben ist die Kugel k mit Mittelpunkt M(-2/1/2), Radius r = 6.
Zur Ebene F als Polarebene, Koordinatengleichung
- 2 x + y + 2 z = 0 soll der zugehörige Pol P1(x1/y1/z1)
ermittelt werden und zwar mit einer vorgeschriebenen,
eher ungewohnten Methode.
Ich gebe das Resultat zu Vergleichszwecken schon im Voraus
bekannt und leite es in einem späteren Beitrag mit der üblichen
Methode ab.
Der Pol P1 hat die Koordinaten
x1 = 6, y1 = - 3 , z1 = - 6.
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Dieses Resultat erreicht man mit der vorgeschriebenen Methode
auch so:
Die Gleichung der gegebenen Kugel lautet:
(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 36.
Durch Polarisation entsteht aus ihr die zum
Pol(x1/y1/z1) gehörende Gleichung der Polarebene K ;
K hat die Gleichung:
(x1+2)(x+2) + (y1-1)(y-1) + (z1 - 2) (z – 2) = 36 …………………..(I)
Diese Polarebene K ist mit der gegebene Ebene F identisch
Wir wählen drei Punkt auf F aus und berechnen mit (I) die
zugehörige Gleichung G.
Erste Auswahl:
A(0/0/0) liegt auf F; setze in (I):
x = 0 , y = 0 , z = 0
Wir erhalten die lineare Gleichung G1 für die Unbekannten x1,y1,z1:
G1: 2 x1 - y1 – 2 z1 = 27
Zweite Auswahl:
B(1/0/1) liegt auf F; setze in (I):
x = 1 , y = 0 , z = 1
Wir erhalten die lineare Gleichung G2 für die Unbekannten x1,y1,z1:
G2: 3 x1 - y1 – z1 = 27
Dritte Auswahl:
C(½ /1/0) liegt auf F; setze in (I):
x = ½ , y = 1 , z = 0
Wir erhalten die lineare Gleichung G3 für die Unbekannten x1,y1,z1:
G3: 5 x1 – 4 z1 = 54
Die Auflösung des Systems der Gleichungen [G1,G2,G3]
liefert den gesuchten Pol P1(x1/y1/z1).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4711
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 06:40: |
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Hi BoM
Die Gleichungen G1,G2,G3 in meinem letzten Beitrag können
leicht gedeutet werden!
Wir fassen sie als Gleichungen dreier Ebenen auf:
G1 stellt die Polarebene zum Punkt A als Pol
bezüglich der gegebenen Kugel k dar.
G2 stellt die Polarebene zum Punkt B als Pol
bezüglich der gegebenen Kugel k dar.
G3 stellt die Polarebene zum Punkt C als Pol
bezüglich der gegebenen Kugel k dar.
Die drei Ebenen schneiden sich im Pol P1 der Ebene F, in der
die drei ausgewählten Punkte A, B, C liegen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4712
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 07:01: |
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Hi BoM
Ich zeige noch die übliche Methode zur Ermittlung des Pols P1 zu einer
gegebene Polarebene F und wähle das numerische Beispiel von neulich.
Wir ordnen die Gleichung der Ebene E und die durch Polarisation
entstandene Gleichung der Polarebene K im gleichen Sinn, nämlich so:
F: a1 x + b1 y+ c1 z + d1 = 0
K: a2 x + b2 y+ c2 z + d2 = 0
Ergebnis:
F: - 2 x + y + 2 z = 0
K: (x1+2) x + (y1-1) y +(z1-2) z + 2 x1 – y1 – 2 z1 - 27 = 0
NB:
K ist durch Umformen der entsprechenden Gleichung (I) im vorletzten
Beitrag entstanden.
Wir fordern, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Dies ist der Fall, wenn die Relationen
a2 : a1 = b2 :b1 = c2 : c1 = d2 : d1 erfüllt sind.
Beim vorliegenden Beispiel liegt ein Sonderfall vor:
F geht durch den Nullpunkt O, wegen d1 = 0.
Somit ist auch d2 = 0, also:
2 x1 – y1 – 2 z1 - 27 = 0.
Die verlangte Proportionalität der Koeffizienten a, b, c
liefert die zwei übrigen Gleichungen für x1,y1,z1:
(x1+2) /-2 = (y1-1)/1 = (z1—2)/ 2
Die Lösung des Gleichungssystems lautet:
x1 = 6, y1 = - 3 , z1 = - 6
wie vordem.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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