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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 16 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 13:14: |
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Hallo Hier folgt eine weitere Aufgabe aus der Stochastik, die ich nicht lösen kann. Sie lautet: Drei Spieler, Nummern I,II,III, werfen abwechselnd eine Münze in dieser Reihenfolge: I,II,III,I,II… Als Sieger gilt, wer zuerst Zahl wirft. Man berechne die Gewinnwahrscheimlichkeiten der drei Spieler. Man verallgemeinere die Aufgabe auf n Spieler (n>3). Vielen Dank im Voraus. Mit freundlichen Grüßen Miro
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4331 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 16:40: |
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Hi Miro Zunächst folgt eine möglich Lösung der Aufgabe für n = 3, Berechnung der Wahrscheinlichkeit P1, dass Spieler I gewinnt. Sein Spielprotokoll bezüglich der Gewinnwahrscheinlichkeiten lautet: P1 = ½ + ½ ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ +.. ad infinitum = ½ {1 + 1/ 8 + 1/16 +…..ad infinitum..} In der geschweiften Klammer steht eine unendliche geometrische Reihe mit dem Quotienten 1/8; ihre Summe ist 8/7, somit gilt P1 = ½ 8/7 = 4 /7 Berechnung der Wahrscheinlichkeit P2, dass Spieler II gewinnt. Sein Spielprotokoll bezüglich der Gewinnwahrscheinlichkeiten lautet: P2 = ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ +.. ad infinitum = ¼ {1 + 1/8 + 1/16 +…..ad infinitum..} In der geschweiften Klammer steht dieselbe unendliche geometrische Reihe wie zuvor; es gilt somit: P2 = ¼ 8/7 = 2 /7 Berechnung der Wahrscheinlichkeit P3, dass Spieler III gewinnt. Sein Spielprotokoll bezüglich der Gewinnwahrscheinlichkeiten lautet: P3 = ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ +.. ad infinitum = 1/8 {1 + 1/8 + 1/16 +…..ad infinitum..}. In der geschweiften Klammer steht dieselbe unendliche geometrische Reihe wie am Anfang; es gilt somit: P3 =1/8 * 8/7 = 1 / 7 Kontrolle P1 + P2 + P3 = 1 Die gewünschte Verallgemeinerung folgt in einem späteren Beitrag. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4333 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 17:00: |
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Hi Miro Wenn man die Anzahl n der Spieler allgemein wählt, so erhält man für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten P(1), P2),…,P(j),…,P(n) jedes Mal in den geschweiften Klammern dieselbe unendliche geometrische Reihe. Der Quotient ist 2 ^ (-n) , die Summe ist sn = 2 ^ n / (2 ^ n -1 ) Vor der geschweiften Klammer steht zur Berechnung von P(j) der Faktor 2 ^ ( - j ) mit j = 1 .. n. Wir erhalten für n beteiligte Spieler die Gewinnwahrscheinlichkeiten P(j) = 2 ^ ( n – j ) / (2 ^ n – 1) , j = 1..n. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4334 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 17:13: |
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Hi Miro Zum Abschluss dieses schönen Themas empfehle ich noch folgende Übungen. 1) es ist rechnerisch nachzuweisen, dass die Summe aller Pj eins ergibt, wie es sein soll. 2) Untersuche den Fall n = 1: ein Single spielt für sich allein und zugleich gegen sich ! 3) Was passiert mit den Pj, wenn n gegen unendlich strebt? Viel Vergnügen wünscht H.R.Moser, megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 17 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 20:19: |
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Hi megamath Vielen Dank für Deine Hilfen. Ich habe auch versucht, die Zusatzaufgaben zu lösen. Bei 2) habe ich P1 = 1 bekommen. Bei 3) erhielt ich Pj = 2 ^ (- j ) ; das sind die Werte 1/2 ; 1/4; 1/8, usw. Mit freundlichen Grüßen Miro
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4335 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 20:30: |
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Hi Miro Deine Ergebnisse sind richtig! Bei Nummer 3) ergibt die Summe aller Resultate als Summe einer unendlichen Reihe den Wert 1 , wie es sein muss. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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