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Gewinnchancen beim Münzwurf

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Miro2004 (Miro2004)
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Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 13:14:   Beitrag drucken

Hallo

Hier folgt eine weitere Aufgabe aus der Stochastik,
die ich nicht lösen kann.
Sie lautet:
Drei Spieler, Nummern I,II,III, werfen abwechselnd
eine Münze in dieser Reihenfolge:
I,II,III,I,II…
Als Sieger gilt, wer zuerst Zahl wirft.
Man berechne die Gewinnwahrscheimlichkeiten
der drei Spieler.

Man verallgemeinere die Aufgabe auf n Spieler (n>3).

Vielen Dank im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen
Miro
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4331
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 16:40:   Beitrag drucken

Hi Miro

Zunächst folgt eine möglich Lösung der Aufgabe für n = 3,

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P1, dass Spieler I gewinnt.
Sein Spielprotokoll bezüglich der Gewinnwahrscheinlichkeiten lautet:
P1 = ½ + ½ ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ +.. ad infinitum
= ½ {1 + 1/ 8 + 1/16 +…..ad infinitum..}
In der geschweiften Klammer steht eine unendliche geometrische Reihe
mit dem Quotienten 1/8; ihre Summe ist 8/7, somit gilt
P1 = ½ 8/7 = 4 /7

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P2, dass Spieler II gewinnt.
Sein Spielprotokoll bezüglich der Gewinnwahrscheinlichkeiten lautet:
P2 = ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ +.. ad infinitum
= ¼ {1 + 1/8 + 1/16 +…..ad infinitum..}
In der geschweiften Klammer steht dieselbe unendliche geometrische Reihe
wie zuvor; es gilt somit:
P2 = ¼ 8/7 = 2 /7

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P3, dass Spieler III gewinnt.
Sein Spielprotokoll bezüglich der Gewinnwahrscheinlichkeiten lautet:
P3 = ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ + ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ +.. ad infinitum
= 1/8 {1 + 1/8 + 1/16 +…..ad infinitum..}.
In der geschweiften Klammer steht dieselbe unendliche geometrische Reihe
wie am Anfang; es gilt somit:

P3 =1/8 * 8/7 = 1 / 7

Kontrolle
P1 + P2 + P3 = 1

Die gewünschte Verallgemeinerung folgt in einem späteren Beitrag.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4333
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 17:00:   Beitrag drucken

Hi Miro

Wenn man die Anzahl n der Spieler allgemein wählt, so erhält man für die
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten P(1), P2),…,P(j),…,P(n)
jedes Mal in den geschweiften Klammern
dieselbe unendliche geometrische Reihe.
Der Quotient ist 2 ^ (-n) , die Summe ist sn = 2 ^ n / (2 ^ n -1 )
Vor der geschweiften Klammer steht zur Berechnung von P(j)
der Faktor 2 ^ ( - j ) mit j = 1 .. n.

Wir erhalten für n beteiligte Spieler die Gewinnwahrscheinlichkeiten
P(j) = 2 ^ ( n – j ) / (2 ^ n – 1) , j = 1..n.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4334
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 17:13:   Beitrag drucken

Hi Miro

Zum Abschluss dieses schönen Themas empfehle ich
noch folgende Übungen.

1)
es ist rechnerisch nachzuweisen, dass die Summe aller Pj eins ergibt,
wie es sein soll.

2)
Untersuche den Fall n = 1: ein Single spielt für sich allein und zugleich
gegen sich !

3)
Was passiert mit den Pj, wenn n gegen unendlich strebt?

Viel Vergnügen wünscht

H.R.Moser, megamath
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Miro2004 (Miro2004)
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Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 20:19:   Beitrag drucken

Hi megamath

Vielen Dank für Deine Hilfen.

Ich habe auch versucht, die Zusatzaufgaben zu lösen.
Bei 2) habe ich P1 = 1 bekommen.
Bei 3) erhielt ich Pj = 2 ^ (- j ) ;
das sind die Werte 1/2 ; 1/4; 1/8, usw.

Mit freundlichen Grüßen
Miro
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4335
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 28. August, 2004 - 20:30:   Beitrag drucken

Hi Miro

Deine Ergebnisse sind richtig!
Bei Nummer 3) ergibt die Summe aller
Resultate als Summe einer unendlichen Reihe den Wert 1 ,
wie es sein muss.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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