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Angelsdeeva (Angelsdeeva)
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Neues Mitglied
Benutzername: Angelsdeeva

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 17:08:   Beitrag drucken

Der Flächeninhalt eines Rechtecks soll 1 m² betragen. Keine seite des Rechtsecks soll länger als 2 m sein. Für welche Seitenlängen hat ein solches Rechteck maximalen Umfang???
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Ukrainez (Ukrainez)
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Junior Mitglied
Benutzername: Ukrainez

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 09:13:   Beitrag drucken

F=a*b=1m²
a=1/b
U(b)=2*a+2*b
U(b)=2/b+2*b, b ist hier die Variable
U'(b)=-2/b²+2
Notw Bed für Extrema: U'(b)=0
folgt 0=-2/b²+2
b1=1
b2=-1
b2 kann man vernachlässigen, da längen positiv sind
einsetzen von b1 in F, folgt a=1
also ist das gesuchte Rechteck ein Quadrat mit
F=1*1=1
und U=2*1+2*1=4
Jetzt mußt du noch die zweite Ableitung von U bilden und b1=1 dort einsetzen und gucken ob das wirklich ein Maximum ist, denn bei mir kam für b1=1 in der zweiten Ableitung der Wert 4 und das ist ein Minimum, da weiß ich auch nicht weiter
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 889
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:00:   Beitrag drucken

Hi,

ganz klar, für das Rechteck existiert bei gegebenem Flächeninhalt im (brauchbaren) Bereich (0 < a, b < 2) nur ein relatives(!) Minimum! Dieses ist auch gleichzeitig ein absolutes Minimum, da kein Funktionswert U(b) im betrachteten Intervall noch kleiner ist.

Daher ist die 2. Ableitung richtigerweise positiv!

Es könnte also ein Angabefehler vorliegen, möglicherweise war der minimale Umfang gemeint.

Es gibt aber auch noch absolute Extrema, die an den Rändern des Intervalls auftreten.

Bei b = 2 ist U = 5, (a = 1/2), das wäre also ein absolutes Maximum auf der rechten Seite.

Auf der linken Seite, also b in der Nähe von 0, ist der Umfang noch größer, man kann aber kein Maximum angeben, da für b -> 0 der Funktionswert U(b) gegen oo (unendlich) geht.

Bei b = 1/2 ist a = 5 und der Umfang U ebenfalls U = 5. Bei noch kleineren b wird der Umfang noch größer, z.B ist bei b = 1/4 die Seite a = 4 und der Umfang U = 8,5 usw.

Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 890
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:11:   Beitrag drucken

Eine Grafik illustriert diesen Sachverhalt noch genauer ...

Gr
mYthos
AbsExtr

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