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Angelsdeeva (Angelsdeeva)
Neues Mitglied Benutzername: Angelsdeeva
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 01-2004
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 17:08: |
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Der Flächeninhalt eines Rechtecks soll 1 m² betragen. Keine seite des Rechtsecks soll länger als 2 m sein. Für welche Seitenlängen hat ein solches Rechteck maximalen Umfang??? |
Ukrainez (Ukrainez)
Junior Mitglied Benutzername: Ukrainez
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 09:13: |
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F=a*b=1m² a=1/b U(b)=2*a+2*b U(b)=2/b+2*b, b ist hier die Variable U'(b)=-2/b²+2 Notw Bed für Extrema: U'(b)=0 folgt 0=-2/b²+2 b1=1 b2=-1 b2 kann man vernachlässigen, da längen positiv sind einsetzen von b1 in F, folgt a=1 also ist das gesuchte Rechteck ein Quadrat mit F=1*1=1 und U=2*1+2*1=4 Jetzt mußt du noch die zweite Ableitung von U bilden und b1=1 dort einsetzen und gucken ob das wirklich ein Maximum ist, denn bei mir kam für b1=1 in der zweiten Ableitung der Wert 4 und das ist ein Minimum, da weiß ich auch nicht weiter
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 889 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:00: |
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Hi, ganz klar, für das Rechteck existiert bei gegebenem Flächeninhalt im (brauchbaren) Bereich (0 < a, b < 2) nur ein relatives(!) Minimum! Dieses ist auch gleichzeitig ein absolutes Minimum, da kein Funktionswert U(b) im betrachteten Intervall noch kleiner ist. Daher ist die 2. Ableitung richtigerweise positiv! Es könnte also ein Angabefehler vorliegen, möglicherweise war der minimale Umfang gemeint. Es gibt aber auch noch absolute Extrema, die an den Rändern des Intervalls auftreten. Bei b = 2 ist U = 5, (a = 1/2), das wäre also ein absolutes Maximum auf der rechten Seite. Auf der linken Seite, also b in der Nähe von 0, ist der Umfang noch größer, man kann aber kein Maximum angeben, da für b -> 0 der Funktionswert U(b) gegen oo (unendlich) geht. Bei b = 1/2 ist a = 5 und der Umfang U ebenfalls U = 5. Bei noch kleineren b wird der Umfang noch größer, z.B ist bei b = 1/4 die Seite a = 4 und der Umfang U = 8,5 usw. Gr mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 890 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:11: |
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Eine Grafik illustriert diesen Sachverhalt noch genauer ... Gr mYthos
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