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Vierecksaufgabe VA 4: Satz des Ptolemäus

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 17. Juli 2003 Archiviert bis Seite 12 » Vierecksaufgabe VA 4: Satz des Ptolemäus « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2250
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 13:53:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

VA 4:

Man beweise den Satz des Ptolemäus über
Sehnenvierecke:
Das Produkt aus den beiden Diagonalen ist
gleich der Summe der Produkte aus den beiden
Gegenseiten.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamat
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 788
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 20:48:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

hier ist ein Beweis des Satz des Ptolemäus

Ein wie ich finde eleganter Beweis über die SIMSON-Gerade etc...

Allerdings ist das nicht der Satz des Ptolemäus den ich meinte.

Ich meinte die Flächenformel für Sehnenvierecke

A=sqrt((s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d))

die man aus der allgemeinen vierecksflächenformel:

A=sqrt((s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)-abcd*cos²e)

Wobei e=(a+c)/2

wobei a und c gegenüberliegende Winkel im Viereck sind. Und beim Sehnenviereck ist ja bekannlich die Summe gegenüberliegender Winkel 180°. Der Kosinus von 90° dürfte sich ja von selbst erledigen wodurch sich die abgewandelte Formel ergibt.
Dieser Flächensatz läuft bei mir unter dem "Satz des Ptolemäus".

Ich hoffe wir verstehen uns!

Gruß N.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2253
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 20:55:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Lösung der VA 4

Satz des Ptolemäus (um 140 n. Chr.)

Wir meditieren über das Sehnenviereck ABCD,
samt seinem Umkreis k (das ist die Aura).

Bezeichnungen:
Seiten AB = a , BC = b , CD = c , DA = d
Diagonalen AC = e , BD = f.
Der zu beweisende Satz des Ptolemäus über
Sehnenvierecke lautet dann:
Das Produkt aus den beiden Diagonalen ist
gleich der Summe der Produkte aus den beiden
Gegenseiten, somit:
e f = a c + b d
°°°°°°°°°°°°°°°
Die Analyse geht so:
Wir wählen einen Punkt E auf AC so, dass die folgende
Winkelbeziehung gilt:
Winkel (ADE ) = Winkel(BDC); die Scheitelpunkte
stimmen je mit dem Punkt D überein.

Wir stellen die folgende Winkelgleichheit fest:
Winkel (DAC) = Winkel (DAE) = Winkel (DBC)
Wiederum stehen die Scheitel der Winkel je in der
Mitte der drei Punkte.
Daraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke AED und BCD;
diese Reihenfolge der Ecken.
Daraus folgt die Proportion AD : AE = BD : BC also:
AD * BC = AE * BD…………………………………………(I)

Wir stellen eine weitere Winkelgleichheit fest:
Winkel (ACD) = Winkel (ECD) = Winkel (ABD)
Es ist leicht zu erkennen,dass die Winkel der Dreiecke
DEC und DAB bei D übereinstimmen
Daraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke DEC und DAB;
diese Reihenfolge der Ecken.
Daraus folgt die Proportion CD : CE = BD : BA also:
CD * AB = CE * BD…………………………………………(II)

Nun addiren wir die beiden Gleichungen (I) und (II)
Ergebnis:
AD * BC + CD * AB = AE * BD + CE * BD
= BD * (AE + CE) = BD * AC , kurz und bündig:
a c + b d = e f ,
w z z w.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 789
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 21:16:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

sei mir nicht böse, aber ich finde den Beweis über die SIMon-Gerade eleganter als deinen!

War dir der andere Beweis auch bekannt?

Gruß N.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2254
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 21:38:   Beitrag drucken

Hi Niels,

die kannte ich schon !
Ich bin der Meinung,dass Eleganz
nicht der letzte Schrei,
insbesondere nicht für Studenten, ist.

Ich möchte Dich im Uebrigen dringend bitten,zuerst zu überlegen,
welchen Satz man Dir vorführen soll,
und welchen Beweis Du im Sinne der Besserwisserei schon kennst.
Voraudenken hat noch nie geschadet !
MfG
H.R.Moser
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 790
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 22:07:   Beitrag drucken

Hi Megamth,

in den den deutschen Schulbüchern, die ich kenne findet man unter dem Titel "Satz des Ptolemäus" meist diese Flächenformel. An den anderen "Satz des Ptolemäus" hatte ich dabei gar nicht gedacht. Das es dort zur Werwirrungen kommt ist kein Wunder. ich meinte jedenfalls eigentlich den anderen Satz der bei uns in Schulbüchern eben "Satz des Ptolemäus" genannt wird. Es tut mir leid wenn wir uns missverstanden haben, aber an der Tatsache das in deutschen Schulbüchen offentsichtlich anderen Sätze auch "Satz des Ptolemäus" genannt werden kann ich leider nicht
ändern. Das war und ist nicht mein Fehler gewesen!!!
Wenn du möchtest kann ich dir das sogar schriftlich beweisen. Im Allgemeinen betreiben ich vorab keine Recherchen wie welcher Satz irgend wo auf der Welt genannt wird.

Das andere hat nichts mit "Besserwisserei" zu tun. Ich wollt lediglich damit verdeutlichen Welche Gedanken ich mir schon über den Beweis des Satzes gemacht habe. Ich dachte man könnte erst die allgemeine Vierecksflächenformel beweisen und dann den "Sonderfall Sehnenviereck" betrachten. Mehr wollte ich damit nicht sagen.
Ich habe auch schon begonnen den allgemeinen Satz zu beweisen, mir gelingt es aber leider nicht am Schluss den Term auf die oben genannte Form zu bringen!
Ich dachte immer du schätzt eigene Überlegungen im Vorfeld?
Ich wundere mich wie kritisch du das siehst- Ich dachte wir hätten alle Differenzen ausgeräumt. Ich habe nun genauer erläutert um welchen Satz es gehen soll und sogar eigene überlegungen dazu geschildert. Auch in meiner Wortwahl kann ich keine missverständlichen oder agressive Formulierungen erkennen.

Übrigens, Ein Beweis zu diesem "Satz des Ptolemäus fehlte mir auch! Nun habe ich sogar gleich 2 Beweise! Deine Arbeit war also nicht umsonst und ich möchte mich auch noch recht herzlich dafür Bedanken!

ich hoffe nun alle Differenzen endlich ausgeräumt zu haben!

mit freundlichen Grüßen

Niels

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