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Dreiecksflächeninhalt minimal

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Detlef (detlef01)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01

Nummer des Beitrags: 126
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 11:49:   Beitrag drucken

Die Tangente und die Normale des Graphen der Funktion Fk (x)=e^(kx) mit k>o im Punkt P(0;1) begrenzen mit der x-Achse ein Dreieck. Für welchen Wert von k wird der Dreiecksinhalt minimal?

ist weiss überhaupt nicht, wie ich vorgehen muss!
ich hoffe ihr könnt mir helfen?!?!?

Detlef
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Klaus (kläusle)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 454
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 15:22:   Beitrag drucken

Hallo

Ich erkläre dir den Weg, die Vorgehensweise wie du zum Ziel kommst.

1) Ableitung bestimmen (hier: fk'(x) = ke^kx)
2) Tangentengleichung bestimmen:
- Steigung im Punkt P bestimmen:
f'(0) = k
k = (y-1)/x

yt = kx + 1

3) Normalengleichung bestimmen:
da m1*m2 = -1: Steigung der Normale = -1/k
-1/k = (yn-1)/x
yn = -x/k + 1

4) Schnittpunkte der beiden Geraden mit der x-Achse bestimmen

5) Flächeninhalt = 0,5*g*h (rechtwinklig!!)
Hier ist g die Srreckenlänge von P bis zum Schnittpunkt S1 (der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse) und h die Streckenlänge von P bis S2 (Schnittpunkt der Normale mit der x-Achse).

Werte einsetzen.
Extrema der Zielfunktion bestimmen.


MfG Klaus
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Claudia (megasupermausi)
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Neues Mitglied
Benutzername: megasupermausi

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 13:16:   Beitrag drucken

Kann mir jemand sagen was der Wertebereich von fa(x)=1/20a*X^4 - 3a/10*X^2 +a
die Funktion soll f2 sein, also muss man doch die 2 für das X einsetzen, nicht? aber der Wertebereich? Wie bestimmt man den?
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Xell (vredolf)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 126
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 15:56:   Beitrag drucken

Hi Claudia,

Setze a=2 => f_2(x)=1/10 * x^4 - 3/5 * x^2 + 2
Untersuche f_2 auf Extremstellen und suche so das Minimum m (Tipp:
Da lim(x->inf) f_2(x) = inf, ist dann W=[m;inf[.

Gruß,
X.
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Detlef (detlef01)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01

Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 16:02:   Beitrag drucken

vielen dank!

Detlef
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Claudia (megasupermausi)
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Junior Mitglied
Benutzername: megasupermausi

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 06:38:   Beitrag drucken

???????? Was ist Inf? Eigentlich muss es irgendwas mit > < sein oder so was also z.B. 2<x>0 oder so was. Ich verstehe überhaupt nix mehr.
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Xell (vredolf)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 128
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 15:26:   Beitrag drucken

f_2(x)=1/10 * x^4 - 3/5 * x^2 + 2
=> f_2'(x)=2/5 * x^3 - 6/5 * x = 2/5 * x * (x^2 - 3)

f_2'(x)=0 liefert nun drei Lösungen:
x_1=0, x_2=sqrt(3), x_3=-sqrt(3)

Berechne jetzt f_2(x_1), f_2(x_2), f_3(x_3)..

Demnach ist der Wertebereich von f_2 folgender:
W=[min(f_2(x_1), f_2(x_2), f_2(x_3)); inf[

inf: infinitum=unendlich
sqrt: square root=(quadrat-)wurzel
min(a,b)= a für a<b bzw. b für b<a ("Minimum von a und b")
min(a,b,c)=min(min(a,b),c)
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1405
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 16:38:   Beitrag drucken

Hallo,

die Funktion fa ist symmetrisch zur y-Achse. Die erste Ableitung lautet

fa'(x) = a/5 x³ - 6a/5 x = x(ax² - 6)/5

Die erste Ableitung wird 0 für
x = 0 oder x = +/- Wurzel(6/a)

Wenn a > 0, dann geht fa(x) gegen oo (unendlich) für x gegen oo. Wenn a < 0, dann geht fa(x) gegen -oo (minus unendlich) für x gegen -oo.

Also liegt im Falle a > 0 bei +/- Wurzel(6/a) je ein absolutes Minimum und für a < 0 bei +/- Wurzel(6/a) je ein absolutes Maximum vor.

Es ist
fa(Wurzel(6/a)) = fa(-Wurzel(6/a))
= 1/10 * (6/a)² - 3/5 * 6/|a| + a
= 18/(5a²) - 18/(5|a|) + a

Beachte: |a| = a, wenn a > 0, und |a| = -a, wenn a < 0.

Also besteht der Wertebereich aus allen y mit
y >= 18/(5a²) - 18/(5a) + a
wenn a > 0, und aus allen y mit
y <= 18/(5a²) + 18/(5a) + a
wenn a < 0.

Wenn a = 2, dann ist
18/(5a²) - 18/(5a) + a = 18/20 - 18/10 + 2 = 11/10,
der Wertebereich also das Intervall
[11/10 ; oo)

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