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Konica (konica)
Neues Mitglied
Benutzername: konica
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 17:15: | 
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Hallo,
Ich habe eine Kugelgleichung und eine Ebenengleichung gegeben und soll nun den Berührungspunkt zwischen den beiden ausrechnen.
Wie mache ich das?!
Danke
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Panther (panther)
Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 18:37: |
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Gleichungen gleichsetzen, nach Variablen auflösen.
Die Lösung in eine der beiden Gleichungen wieder einsetzen. Somit erhälst du den Berührpunkt. |
Konica (konica)
Neues Mitglied
Benutzername: konica
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 19:06: |
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Danke,
aber wie kann ich die Gleichungen denn auflösen?
Ich habe gegeben:
E: 2x + y + 2z = 18
K: x^2 +y^2 + z^2 = 36 |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1190
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 10:26: |
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Da der Kugelmittelpunk M = (0; 0; 0) ist,
schneidet
die Normale auf E durch (0; 0; 0)
die
E und die K im gesuchten Berührungspunkt
(
vorausgesetz daß E tatsächlich tangtial zu K ist
)
Der Normalvektor zu E ist (2; 1; 2),
es
ist also die Gerade n = r*(2; 1; 2) mit E zu schneiden
für
n läßt sich auch y = x/2, z = x schreiben,
das
in E eingesetzt ergibt
2x + x/2 + 2x = 18 = 9x/2
x = 4, y = 2, z = 4
der
Ordnung halber sollte noch geprüft werden, ob das
Tatsächlich ebenfalls ein Kugelgpunkt ist:
2*4² + 2² = 32+4 = 36 stimmt also.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1191
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 10:57: |
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da Vektoren für Dich wohl ebensowenig Routine sind
wie
für mich, zeige ich noch wie man auf den Normalvektor n einer Ebene E kommt.
n muß auf 2 Richtungsvektoren der E normal sein - dann ist er auf die ganze Ebene
normal.
Wenn E in der Form a*x + b*y + c*z = k
gegeben ist,
sind E's einfachste "Richtungsvektoren" die Achs-Abschnitte:
x-Abschnitt X: y=0,z=0, also X = k/a, EbenenPunkt A =(X; 0; 0)
y-Abschnitt Y: x=0,z=0, also Y = k/b, EbenenPunkt B =(0; Y; 0)
z-Abschnitt Z: x=0,y=0, also Z = k/c, EbenenPunkt C =(0; 0; Z)
| | | 2 Richtungsvektoren der E sind dann | B-A = (-X; Y; 0) | | und | C-A = (-X; 0; Z) |
Für den auf B-A und C-A normale Vektor n = (xn; yn; zn)
müssen
die Skalarprokukte (B-A).n und (C-A).n gleich 0 sein also
(-X; Y; 0).(xn; yn; zn) = 0 = -X*xn + Y*yn <==> yn = xn*X/Y
(-X; 0; Z).(xn; yn; zn) = 0 = -X*xn + Z*zn <==> zn = xn*X/Z
somit
n = (xn; xn*X/Y; xn*X/Z) = xn*(1; X/Y; X/Z)
nun
für die X,Y,Z einsetzen k/a, k/b, k/c
also
X/Y = (k/a)/(k/b) = b/a, X/Z = (k/a)/(k/c) = c/a
n = xn*(1; b/a; c/a)
da ein Richtungsvektor die "Richtung" nicht ändert, wenn er mit einem
beliebigem Skalar mulitipliziert wird,
wählen wird den Faktor a/xn
und
erhalten schließlich (a; b; c)
der
Richtungsvektor der auf E: a*x + b*y + c*z = k normalen Geraden ist also
(a; b; c)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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