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Juliane (schneebrettjule)
Neues Mitglied
Benutzername: schneebrettjule
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 20:54: | 
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Hey Leute, könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?
Die Tangente und die Normale im Schnittpunkt von ft (x) = e-etx (Schaubild Kt) mit der y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für welche Kurve Kt wird die Länge dieser Strecke extrem (minimal, maximal)? Gib die Extremwerte dieser Strecke an.
Die allgemeinen Gleichungen (Tangente, Normale) habe ich, die Schnittpunkte mit der x-Achse auch, EIGENTLICH. Komme aber auf kein relevantes Ergebnis. Gucke nochmal nach Fehlern, eure Hilfe wär aber cool!
Thanx & Gruß |
Martin (specage)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 73
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 08:55: |
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Hi,
also die Geradengleichungen der Tangente bzw. der Normalen lauten:
y_T=-t*x_T+e-1 und
y_N=1/t*x_N+e-1
Die Schnittpunkte jeweils:
T((e-1)/t|0) und N(t*(1-e)|0)
Nun unterscheide ich zwischen t>0 und t<0.
Für t>0 liegt der Normalenschnittpunkt N im Negativen, der Tangentenschnittpunkt im Positiven.
Daher setzt sich die Länge der Gesamtstrecke so zusammen:
f(t)=(e-1)/t+(e-1)*t
f'(t)=-(e-1)/t^2+(e-1)
f'(t)=0 daraus folgt:
-(e-1)/t^2+(e-1)=0
-1/t^2+1=0
1/t^2=1
t^2=1 also t=1 bzw. t=-1 wobei t=-1 in dieser Betrachtung ausgeschlossen wird.
Zur Bestimmung der Art der Extremstellen wird nun die zweite Ableitung gebildet:
f''(t)=2*(e-1)/t^3
f''(1)>0 daraus folgt Tiefpunkt
Da die Schnittpunkte mit der x-Achse jeweils punktsymmetrisch sind zu t<0, reicht die Betrachtung für t>0.
Für die minimale Strecke ergibt sich:
f(1)=(e-1)/1+(e-1)*1=e-1+e-1=2*e-2
Ich hoffe, das stimmt so.
mfg specage
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