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Arctan/Taylorsche Reihe ( speziell: G...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Trigonometrie » Arctan/Taylorsche Reihe ( speziell: Gregory-Formel) « Zurück Vor »

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Nicocare
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Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 20:09:   Beitrag drucken

Hallo! Bitte helft mir! Ich muß z.B. einen Konvergenzbeweis darstellen, und ich habe keine Ahnung, wie. Außerdem muß ich verschiedene Methoden der arctan-Funktion beschreiben, mit denen man "pi" berechnet.

E-Mail:Takecare@uni.de

Adresse:
Nicolas Dlugosch
Stendaler Str.11a
29439 Lüchow


So, vielen Dank schon mal im Vorraus, Nico (12.Jahrgang)
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Ralf
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. März, 2000 - 19:35:   Beitrag drucken

Hi Nicolas,
ich konnte nirgendwo eine Gregory-Formel finden. Was ist das, was ihr da in der 12. Klasse macht. Vielleicht kannst Du genauer erklären, was ihr in der Schule durchgenommen habt.
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. März, 2000 - 22:00:   Beitrag drucken

Hallo Nicolas,
Eine Gregory Formel kenne ich auch nicht.
Hier aber ein paar arctan-Zusammenhänge:

arctan(120/119) - arctan(1/239) = pi/4

4*arctan(1/5) - arctan(1/239) = pi/4

2*arctan(1/2) - arctan(1/7) = pi/4

2*arctan(2/3) - arctan(7/17) = pi/4
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. März, 2000 - 07:51:   Beitrag drucken

An Ralf und an Fern

Betrifft James Gregory (1638-1675)
Ich musste ziemlich tief graben, um etwas über Gregory und die Gregory-Reihe zu erfahren.
Als Gregory-Reihe wird (nach meiner Ansicht unüblich) die bekannte Reihe
für arc tan x bezeichnet ( arc tan x = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - ...).
Diese Reihe wurde von Gregory 1671 aufgestellt.
Ferner wird die Reihe für ln ((1+x)/(1-x)) sowohl Gregory als auch E.Halley (Halley-Komet) zugeschrieben.
Die Bezeichnung "konvergent" soll auf Gregory zurückgehen, und Gregory
war einer der ersten , der mit gebrochenen Exponenten rechnete.
An und für sich sind diese Angaben nicht wichtig, aber im Zusammenhang mit der gestellten Frage interessant
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. März, 2000 - 09:29:   Beitrag drucken

Hi Nicolas,

Obwohl Du deine Frage etwas ungenau formuliert hast , will ich versuchen, Dir behilflich zu sein.
Es ist sicher nützlich, wenn eine der arc tan - Zusammenhänge erst einmal bewiesen wird.
Nehmen wir dazu die zweite Formel in der Liste von Fern.
Diese Formel wurde 1706 von J . Machin gefunden und lautet:
Pi/4 = 4 * arc tan (1 / 5 ) - arc tan ( 1 / 239 ).
Zum Beweis setzen wir tan (1/5) = u , damit ist gleichbedeutend tan u = 1/5 .
Mit der Doppelwinkelformel des tangens erhalten wir :
tan ( 2 u ) = ( 2 * 1/5 ) / ( 1 - 1/25 ) = 5 / 12 und tan ( 4 u ) = ( 2 * 5/12) / ( 1 - 25/144 ) = 120 / 119
Mit dem Additionstheorem des tangens erhalten wir :
tan( Pi / 4 - 4 u) = ( 1 - 120/119 ) / ( 1 + 120 / 119) = -1 / 239 , also: mit der
Definition des arc tan :
Pi / 4 - 4 u = - arc tan (1 / 239) , womit die Formel von Machin bewiesen ist.

Da man arc tan (1/5) und arc tan (1 / 239) mit Hilfe der Gregory -Reihe ( ! ) leicht auf einige Stellen berechnen kann, gilt dasselbe für Pi.
Empfehlung : Führe eine solche Berechnung mit einer vorgegebenen Stellenzahl selber durch.

Es gibt eine Unmenge solcher Beziehungen; die Liste von Fern soll noch ein wenig erweitert werden:
1. Pi / 4 = 5 arc tan 1/7 + 2 arc tan 3 / 79 (Euler 1779)
2. Pi / 4 = 8 arc 1/10 - arc tan 1 / 239 - 4 arc tan 1 / 515
3. Pi / 4 = 5 arc tan 1 / 7 + 2 arc tan 3 / 79
4. Pi / 3 = arc tan (( 2a - b) / (b*wurzel 3)) + arc tan ((2b - a) / (a*wurzel 3)) (a und b nicht null)
5. Pi = 2 arc tan 10 + arc sin (20 / 101)

u.s.w.

Ich glaube , das sollte genügen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. März, 2000 - 15:52:   Beitrag drucken

Hi Nicolas,

Deine Frage tangiert auch das Problem , wie ein Konvergenzbeweis zu führen sei
Nehmen wir als Beispiel diese Reihe von Gregory für den Arcustangens.
arc tan x = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 --..
Solche sogenannten Potenzreihen (es treten x - Potenzen auf ) haben die Eigenschaft, dass sie einin bezug auf den Nullpunkt symmetrisches Konvergenzintervall (-r , r ) für die x-Werte haben, d.h. die Reihe ist für jeden inneren Punkt des Intervalls, also für x absolut r , divergent.
Diese Zahl r wird auch, namentlich in der Funktionentheorie, Konvergenzradius genannt.
Es gibt nun verschiedene Methoden ,für eine gegebene unendliche Reihe diesen Konvergenzradius zu bestimmen.
Wir benützen im folgenden das Quotientenkriterium von Cauchy.
Der absolute Betrag des Koeffizienten a k im allgemeinen Glied der Reihe lautet a k = 1 / (2k+ 1) , derjenige des darauffolgenden Gliedes a (k+1) lautet 1 / (2*k + 3) (Beachte , dass wir von den bei den x-Potenzen stehenden Faktoren reden und nicht von den ganzen Gliedern der Reihe und zwar von den Absolutbeträgen). Wir bilden den Quotienten q k = a k / a ( k + 1) dieser Terme und erhalten: q k = (2*k + 3) / (2*k+1). Für die Beurteilung ist der einfachste Fall der, dass q k für k gegen unendlich einen Grenzwert g hat, was nicht ohne weiteres zutrifft.
In unserem Fall existiert der Grenzwert g von q k ; es gilt, wie man sofort erkennt, g = 1. Nach Cauchy gilt dann für den Konvergenzradius r die
Beziehung r = g = 1
Man kann nachweisen ,und man muss dies zusätzlich tun, dass die Reihe auch für x = 1 und für x = -1 konvergiert

Anmerkung: Kenner der Materie sind sich gewöhnt, bei der Anwendung des Quotientenkriteriums bei Reihen mit positiven (konstanten) Gliedern
die Quotienten a (k+1) / a k zu bilden statt umgekehrt Bei den Potenzreihen zieht man das obige Verfahren vor , weil man dann mit dem Grenzwert g direkt den Konvergenzradius r bekommt.

Ein weiteres Beispiel zur Berechnung des Arcustangens ist die sogenannte
Laurententwicklung; sie lautet:
arc tan x = Pi/2 -1/x + 1/ 3 * 1/ x^3 - 1/5 *1/x^5 -...Konvergenz für x absolut >1
Sie lässt sich aus der Gregory - Reihe herleiten mittels der Beziehung arc tan u + arc tan 1 /u = Pi / 2.
Setzt man in der zweiten Reihe x = wurzel ( 3 ) , so kommt arc tan x = pi / 3
und nach einiger Umformung entsteht die famose Reihe:
Pi = 2*wurzel(3) * [1 - 1/(3*3) + 1 / ( 5 * 3^2) - 1 / ( 7*3^3 ) +1/ ( 9*3^4) +..]
Allgemeines Glied ak = (-1) ^ k / ((2k+1)*3^k) , k = 0 , 1 , 2 ...
Wenn Du dazu Lust hast : Berechne die Summe der ersten 12 Glieder und Du bekommst eine Näherung für Pi auf 6 Dezimalen; allerdings musst Du dabei auch den Faktor wurzel (3) einbringen ! Viel Erfolg und viel Vergnügen !
M.f.G. : HR.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. März, 2000 - 20:19:   Beitrag drucken

Hi Nicolas, ( bitte melden ! )

Es mag angebracht sein, die weiter oben erwähnte Reihe für arc tan x von Gregory einmal dazu zu verwenden, mit Hilfe der
arc tan - Relation von Machin die Zahl Pi auf immerhin sieben Dezimalstellen zu berechnen. Nun, das sind peanuts im Vergleich zu den über 51.5 Milliarden bis heute bekannten Dezimalstellen von Pi ,
aber es ist immerhin nicht ganz und gar nichts.
Wir gehen aus von der Relation
Pi = 16 arc tan (1/5) - 4 arc tan (1/239) (machin)
und setzen in die Gregory - Reihe für x zuerst 1/5, dann 1/239 ein.
Wir erhalten : Pi =
16[1/5-1/(3*5^3)+1/(5*5^5)-1/(7*5^7)+1/(9*5^9)-1(11*5^11)+..]
-4[1/239- 1/(3*239^3) +.. ]
in der ersten eckigen Klammer nehmen wir genau 6 Summanden , in der zweiten 2 Summanden und erhalten so mit dem Taschenrechner der Reihe nach:
Pi (genähert) = 16 * 0.1973955598 - 4* 0.0041840760 =
3.158328957 - 0.016736304 = 3.141592653 (BRAVO!)

Fehler-Abschätzung:
Für die erste eckige Klammer: Fehlerbetrag < 1 / (13*5 ^ 13) < 6.4*10 ^ - 11
Zweite eckige Klammer: Fehlerbetrag < 1/( 5*239 ^ 5) < 2.6 * 10^ -13
Zusammen: Absoluter Fehler < 16*6.4*10 ^ -11 + 4*2.6* 10 ^ -12
< 1.1* 10 ^ - 9 . Das ist beeindruckend, wie mit so wenig Gliedern
Pi mit sieben gesicherten Stellen berechnet werden kann.

Thema von mir aus abgeschlossen ; Feierabend !
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Marit Baustian (Maritb)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 11:01:   Beitrag drucken

hallo, könnt ihr mir bitte anzeigen wieviel Nullen eine Milliarde und eine Billionen hat?
Danke
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tom
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 12:44:   Beitrag drucken

hallo

eine milliarde hat 9 nullen (1 000 000 000)
eine billion hat 12 nullen (1 000 000 000 000)

gruss
tom
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 21:34:   Beitrag drucken

Bitte beachten, dass im amerikanischen Englisch "one billion" eine Milliarde ist. Das wird auch in seriösen Medien häufig falsch übersetzt und führt daher häufig zu Missverständnissen.

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