| Autor |
Beitrag |
    
Tine
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2007 - 10:40: | 
|
Hallo an alle! Hat jemand einen rat für mich, wie ich an das Problem herangehen kann? Ich habe nämlich nicht die geringste Ahnung.
a) Für n element Z, zeige dass
nZ:={nl\l element Z) eine Untergruppe von (Z,+) ist.
b) Zeige dass
1+2Z:={1+2l\l element Z}=[1,-1,3-,3-,5-,5...}
keine Untergruppe von (Z,+) ist.
c) Zeige auch, dass jede Untergruppe (Z,+) die
Form nZ für n elment Z besitzt. |
Häslein (Häslein)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein
Nummer des Beitrags: 258
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2007 - 15:33: |
|
Hallo Tine,
Aufgabenteil a) und b) sind doch gar nicht so schwer. Ihr habt in der Vorlesung sicherlich die Eigenschaften von Untergruppen aufgeschrieben.
Diese musst du bei a) einfach allgemein nachrechnen. Z. B. ist die erste Eigenschaft von Untergruppen, dass die Untergruppen-Menge nicht leer sein darf. Das zeigst du, indem du dir ein Element aus der gegebenen Menge herausgreifst, das die Mengenbedingung erfüllt und dann sagst, dass dieses Element eben in der Gruppe liegt und diese deshalb nicht leer ist.
Die weiteren Untergruppeneigenschaften können unterschiedlich definiert sein (auch, wenn sie im Endeffekt natürlich alle dasselbe bedeuten.) Wir hatten als weitere Bedingung, dass die Verknüpfung von zwei Elementen aus der zu untersuchenden Gruppe immer wieder in der Gruppe liegen muss. Das musst du eben auch allgemein zeigen, indem du dir z. B. ein a und ein b wählst und dir die Verknüpfung dann mal anschaust.
Die b) sollte eigentlich noch weniger Aufwand sein. Du weißt ja, dass es keine Untergruppe sein soll. D. h. mindestens eine deiner Untergruppen-Bedingungen sollte nicht erfüllt sein. Du musst dich hier also einfach nur auf die Suche nach einem geeigneten Gegenbeispiel machen, dass eine der Bedingungen nicht erfüllt. Dann ist der Beweis fertig.
Bei der c) kann ich dir im Moment leider nicht weiterhelfen, da ich mit deiner Definition von nZ:={nl\l element Z) nicht soviel anfangen kann.
Gruß
Haeslein |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2089
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2007 - 16:22: |
|
Zu c):
Angenommen du hast eine beliebige Untergruppe U¹0 von Z. Dann existiert ein betragsmäßig kleinstes Element a¹0 in U.
Jetzt schaust du dir die Gruppe aZ an. Wir werden zeigen, dass aZ=U gilt.
Angenommen es gäbe ein Element b aus U, sodass b nicht in aZ liegt.
Ohne Einschränkung soll a nicht negativ sein und b positiv (das ist wirklich keine Einschränkung, weil mit a auch -a in U liegt usw.)
Wegen der Minimalität von a ist b>a.
Wir betrachten die größte natürliche Zahl k, sodass b-a*k > 0 gilt. Da b nicht in aZ liegt gilt a > b-a*k > 0
b-a*k ist ein Element von U, also ergibt sich ein Widerspruch zur Minimalität von a. D.h. U=aZ.
MfG
Christian |
|
