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Vollständige Induktion

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F22raptor (F22raptor)
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Neues Mitglied
Benutzername: F22raptor

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2007
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2007 - 17:22:   Beitrag drucken

Hallo!
Hätte eine Frage zur vollständigen Induktion:

1) Induktionsbasis A(1): 1=1/2*1*2
2) Induktionsvorraussetzung: A(n): 1+2+..+n = n*(n+1)/2
3) Induktionsbehauptung: A(n+1) 1+2+..+n+n+1 = (n+1)*(n+2)/2

bis zum Induktionsbehauptung ist eigentlich alles klar, aber dann steh ich an und zwar da:

Auf beide Seiten der Gleichung ist (n+1) dazuzuaddieren:
4) Induktionsschritt:

1+2+..+n+n+1 = n(n+1)/2 +n+1 = n+1/2*(n+2) = (n+1)*(n+2)/2 <=> A(n+1)

Woher kommt bzw. wie komm ich auf n+1/2*(n+2) ???

Danke & Lg}
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Häslein (Häslein)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein

Nummer des Beitrags: 247
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2007 - 09:47:   Beitrag drucken

Hallo,

also ich verstehe nicht so genau, warum du dir das Ganze so kompliziert machst. Ich schreibe dir hier mal meinen Weg auf. Vielleicht hilft dir das ja schon. Du willst ja zeigen, dass die Induktionsbehauptung gilt, also dass für A(n+1) das gilt, was du bei 3) hingeschrieben hast.

So, dann fange ich mal mit deiner linken Seite an:

1+2+..+n+(n+1) = (n(n+1))/2 + (n+1) wegen der IV

Jetzt bringe ich den Term (n+1) auf den Nenner 2 und man bekommt:

(n(n+1))/2 + (n+1) = (n(n+1)+2(n+1))/2 = (n²+n+2n+2)/2 = ((n+1)(n+2))/2

Damit folgt die IB.

Ich hoffe, das hat dir geholfen.


LG
Haelsein
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1881
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2007 - 09:47:   Beitrag drucken

Hallo!

Erst muss zunächst mal feststehen, was du beweisen sollst. Offensichtlich

A(n) = 1 + 2 + ... + n = n*(n + 1)/2

So.

In 3) nimmst du nun die Richtigkeit der Formel an (Ind. behauptung) und schließt daraus auf die Richtigkeit der Formel für n+1. Das heisst, wenn die Formel für n Glieder gelten soll, muss sie dies auch für (n+1) tun.

Du addierst daher links noch das (n+1) ste Glied und setzt rechts in der Formel STATT n eben (n+1). DAS ist der springende Punkt!

Daraus muss sich nun eine Identität ergeben und das tut es hier auch:

1 + 2 + ... + n + n + 1 = (n+1)*(n+2)72

Für die Summe der Glieder von 1 bis n wird links nun wiederum die Formel (Induktionsbehauptung) eingesetzt:

n*(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)*(n+2)/2 | beide S. mit 2 multiplizieren, ausrechnen

n2 + n + 2n + 2 = n2 + 3n + 2

wie man sieht, passt es ....

Gr
mYthos+

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