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Omchen (Omchen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2006 - 15:51: | 
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Hallo!
Zu einer Übungsaufgabe habe ich eine Frage.
Man soll alle x element R bestimmen (mit x!=2) für die gilt:
(((x^12)+4)*(x-2)*(x+1)*(x+5))/(|x-2|*((x^2)+4))
>= (|x+1|*((x^12)+4))/((x^2)+4)
Ich habe dafür zwei Lösungsansätze und bin mir nicht sicher, welcher besser (ob einer falsch) ist.
Der einfache Ansatz:
Ich teile auf beiden Seiten durch ((x^12)+4) und multipliziere mit ((x^2)+4).
dann multipliziere ich wieder beide Seiten mit |x-2| so dass ich als neue Ungleichung habe:
(x-2)(x+1)(x+5) >= |x+1|*|x-2|
teile auf beiden Seiten durch (x-2)(x+1) und habe dann
(x+5) >= (|x+1|*|x+2|)/((x+1)(x-2))
die rechte Seite ist immer 1
und ich habe x!=-6;-4
darf ich das alles so machen? oder hab ich dabei sämtliche Regeln der Mathematik missachtet?
Der andere Lösungsansatz, den ich jedoch nicht vollständig tippe, ist:
ich mache Fallunterscheidung für x<0; 0<x<2; x>2 und berechne dann den Grenzwert. (sieht zwar spektakulärer aus, aber ich weiß nicht, ob mir das wirklich was bringt?!)
Freue mich auf eure Antworten,
viele Grüße,
Christina |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2070
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2006 - 16:20: |
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Hallo Christina
Bis hierhin stimmts:
(x-2)(x+1)(x+5) >= |x+1|*|x-2|
Den nächsten Schritt darfst du dann nicht mehr machen. Bei Ungleichungen wird ³ zu £ (und umgekehrt), wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst!
Da musst du wirklich Fallunterscheidungen machen(den ersten Fall mache ich mal vor).
1. Fall: x>2
Dann ist |x+1|=x+1>0 und |x-2|=x-2>0
Also wird die Ungleichung zu
x+5 ³ 1
<=> x³-4
Damit gilt die Ungleichung schonmal für alle x>2.
2. Fall: -1<x<2
3. Fall: x=-1 (der ist trivial)
4. Fall: x<-1
MfG
Christian |
Omchen (Omchen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2006 - 18:24: |
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Hallo Christian!
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Nun habe ich eine Frage zum 2. Fall: -1<x<2
ich hab angefangen mit
|x+1|=x+1>0 und |x-2|>0
da aber x-2 auch <0 werden könnte, kann ich dadurch ja nicht so einfach teilen. wie mach ich dann weiter?
viele Grüße,
Christina |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2072
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2006 - 19:36: |
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Hallo Christina
x-2 wird in dem Fall kleiner Null! Also gilt
|x-2|=-(x-2)
Und wie du schon geschrieben hast |x+1|=x+1>0.
Damit:
(x-2)(x+1)(x+5) ³ |x+1|*|x-2|
<=> (x-2)(x+1)(x+5) ³ (x+1)*(-(x-2))
<=> (x-2)(x+5) ³ (-(x-2))
<=> x+5 £ -1
<=> x£ -6
Wir hatten aber oben schon angenommen, dass -1<x<2 , also gibt es hier keine Lösung.
MfG
Christian |
Omchen (Omchen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2006 - 21:29: |
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Nochmals vielen Dank!!! |
