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partielle Ableitungen

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Schneebrettjule (Schneebrettjule)
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Junior Mitglied
Benutzername: Schneebrettjule

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2006 - 11:59:   Beitrag drucken

Hallo!

Mit F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 -2xz - 25 = 0 ist z = f(x,y) implizit gegeben. Es sollen sie partiellen Ableitungen zx und zy bestimmt werden?

Wie geht das? Wie stelle ich F nach z um???

Wäre für jede Hilfe dankbar, LG Juliane
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 3117
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2006 - 12:09:   Beitrag drucken

dz/dx = (dF/dx)*(dz/dF)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Schneebrettjule (Schneebrettjule)
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Mitglied
Benutzername: Schneebrettjule

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2006 - 12:30:   Beitrag drucken

Danke, aber was ist dz/dF bzw. was setze ich dafür ein? Ich kenne z ja nicht!

(Beitrag nachträglich am 04., Juli. 2006 von Schneebrettjule editiert)
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 3118
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2006 - 12:34:   Beitrag drucken

1/(dF/dz)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Schneebrettjule (Schneebrettjule)
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Mitglied
Benutzername: Schneebrettjule

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2006 - 12:47:   Beitrag drucken

Hm klingt alles logisch aber irgendwie geht das nich. Da wÜrde fÜr dz/dx -1 rauskommen und das stimmt nich... Naja.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1822
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2006 - 14:07:   Beitrag drucken

Hi,

leite einfach die Funktionsgleichung einmal (implizit) nach x und dann nach y ab und bestimme daraus dz/dx bzw. dz/dy:

Für part. Abl. nach x:

x2 + y2 + z2 - 2xz - 25 = 0
nach x
2x + 2z*(dz/dx) - 2*(z + x*(dz(dx)) = 0 (Ketten- und Produktregel!)

daraus (nach Kürzen durch 2)

(dz/dx)*(z - x) = z - x
-->
dz/dx = 1

Für die partielle Ableitung nach y verfährst du analog.

Übrigens ist es hier auch leicht, den gegebenen Funktionsterm zuerst auf z = f(x,y) umzustellen:

z2 - 2xz + x2 + y2 - 25 = 0
z 1,2 = x +/- sqrt(x2 - x2 - y2 + 25)

z 1,2 = x +/- sqrt(- y2 + 25)

und jetzt z nach x ableiten:

dz/dx = 1, denn die Wurzel ist hinsichtlich x ja konstant.

Die Erklärung von Friedrich erscheint ebenfalls sehr plausibel, er ersetzt einfach dz/dx durch (dF/dx)*(dz/dF) = (dF/dx)/(dF/dz) [Kettenregel], allerdings hakt es dort beim Vorzeichen ... (dieser Widerspruch ist im Moment nicht erklärbar, vielleicht kann das einer der Kapazitäten, die dies hier lesen?)

Da jedoch das Ergebnis bei den beiden anderen Wegen jeweils 1 ist, denke ich, dass es richtig ist.

Gr
mYthos
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1134
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2006 - 18:30:   Beitrag drucken

Hallo,

Schreibt man die Gl. F=0 in der Form

(x-z)2 + y2 = 25,

so erkennt man, dass es sich um einen elliptischen
Zylinder mit Achse y=0, z=x handelt. Die Schnitte
mit Ebenen x=a bzw. z=c bzw. y=c (|c| £5)
sind Kreise mit Radius r=5 bzw. Parallelenpaare
z=x ± sqrt(25 - c2).

Durch partielle Ableitung bzgl. x bzw. y kommt

(zx - 1)(z-x) = 0,

zy(z-x) + y = 0.

Daraus folgt

zx = 1 ,

zy = ± y/sqrt(25 - y2)
mfG Orion

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