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Potenzreihen Koeffizientenbestimmung

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Immanuelkantgrinder (Immanuelkantgrinder)
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Neues Mitglied
Benutzername: Immanuelkantgrinder

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2006
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juni, 2006 - 17:15:   Beitrag drucken

Die Funktionen f und g sind durch die Potenzen



gegeben. Jetzt soll man die Koeffizienten a_k und b_k so bestimmen,dass die DGL f"=-f und g"=-g mit den Anfangsbedingungen:

f(0)=0
f´(0)=1
g(0)=1 und
g´(0)=0 ist .

Man sieht ja bei genauerem betrachten,dass die Funktionen f(x)=sin x und g(x)=cos x sind,aber wie leitet man das genau her? Wie mache ich das mit Hilfe von Taylor oder der Potenzreihenentwicklung?
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2052
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juni, 2006 - 19:50:   Beitrag drucken

Hallo

Es gilt:
f''=-f
=> f(2k)=-f(2k-2) für alle natürlichen k.
(einfach 2k-2 mal ableiten, was bei Potenzeihen innerhalb des Konvergenzintervalls immer möglich ist)

Also
f(2k)=(-1)k+1*f

Insbesondere f(2k)(0)=0.


Analog haben wir
f(2k+1)=-f(2k-1)=...=(-1)k*f'
für alle natürlichen k

Also f(2k+1)(0)=(-1)k

Potenzreihen stimmen auf dem inneren ihres Konvergenzintervalls mit der Taylorreihe überein. Diese ist nach unseren obigen Rechnungen mit Entwicklungspunkt 0 gerade die sinus-Reihe:
f(x)=S¥ k=0 f(k)(0)/k!*xk
=S¥ k=0 f(2k+1)(0)/(2k+1)!*x2k+1
=S¥ k=0 (-1)k/(2k+1)!*x2k+1

MfG
Christian
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Immanuelkantgrinder (Immanuelkantgrinder)
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Neues Mitglied
Benutzername: Immanuelkantgrinder

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2006
Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2006 - 10:54:   Beitrag drucken

Vielen Dank!Und wie ist das mit der Potenzreihe g(x)?Wie sehen die Funktionen g und f aus?

(Beitrag nachträglich am 12., Juni. 2006 von ImmanuelKantgrinder editiert)
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2054
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2006 - 11:18:   Beitrag drucken

Hallo

Also g(x) kannst du genau wie oben f(x) herleiten. Du musst dann eben die passenden Anfangswerte einsetzen, d.h. g(0)=1 und g'(0)=0 verwenden.

Und das Aussehen von f und g ist aus der Potenzreihe nicht so ohne weiteres zu erkennen. Aber per Definition sind das ja die Winkelfunktionen. Ich denke nicht, dass du hier noch so Sachen wie Monotonie etc. zeigen sollst. Das wäre noch ziemlich viel Arbeit :-)

MfG
Christian

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