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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2006 - 19:31:   Beitrag drucken

Hallo,
ich komm einfach nicht weiter, ob wohl ich mir das schon bildlich dargestelt hab.
Es geht um folgende Aufgabe:
Sei ( X,r) ein Hausdorffscher Raum. Sei Y Teilmenge von X, Y nicht leere Menge.
Dann soll man zeigen, dass dann auch Y durch r induzierte Topologie ein Hausdorffscher Raum ist.
Aber wie?
Ich habe in Büchern gefunden, dass jeder Unterraum eines Hausdorffraumes auch wieder ein Hausdorffraum ist. Aber nur diese Definition ist nen bissel mager.
Mir ist also klar, dass es so ist aber ich kann es leider nur mit ner Zeichung begründen und das ist unserem Dozenten zu wenig.
Hoffe jemand kann mir nen bissel helfen. lg
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2047
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2006 - 12:43:   Beitrag drucken

Hallo Sarah

Ist wahrscheinlich schon zu spät, aber hier trotzdem mal ein Beweis:
Seien zwei verschiedene Punkte y1,y2 aus Y gegeben.
Wir müssen jetzt disjunkte offene Umgebungen von y1 und y2 finden.
Dazu gehen wir ganz einfach so vor, dass wir zwei in X offene disjunkte Umgebungen U1 von y1 und U2 von y2 wählen(Das geht, weil Y Teilmenge von X ist und X hausdorffsch).

Per Definition der induzierten Topologie sind dann U1 n Y und U2 n Y offene Mengen in Y( "n" steht für Durchschnitt). Sie haben offenbar unsere gesuchten Eigenschaften
=> Y ist Haussdorffraum.

MfG
Christian

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