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minimales Halbgruppen-Erzeugendensystem

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Thorsten Krause
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 07. April, 2006 - 19:49:   Beitrag drucken

Ich komme mit folgender Aufgabe nicht klar, kann mir jemand bitte große Hilfestellungen geben, oder diese Aufgabe anhand eines Beispiels näher bringen:

Z sei das Zahlensymbol
Es sei Z^2 das direkte Produkt (Z, +) x (Z, +) und U = {(x_1, x_2) [Element von] Z x Z : x_1>0, x_2 >=0, 3*x_2<=2*x_1}
1. Man zeige, dass U eine Unterhalbgruppe von Z^2 ist.
2. Man berechne ein minimales Halbgruppen-Erzeugendensystem von U.


Das was unter 2. steht ist mein Problem, aber vielleicht könntet ihr auch kurz was zu 1. sagen...

Ich danke schonmal im Vorraus ... Thorsten, alias TRex aus informatik4U
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1847
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 08. April, 2006 - 17:14:   Beitrag drucken

Hallo Thorsten,

1. Du musst zeigen, dass U abgeschlossen gegenueber der VerknÜpfung + ist. Also, wenn (x1,x2) und (y1,y2) aus U, dann auch (x1,x2) + (y1,y2).

2. Ein Erzeugendensystem ist {(1,0), (2,1), (3,2)}

Sei (x1,x2) aus U. Zeige, dass es a, b, c >= 0 gibt mit
(x1,x2) = a(1,0) + b(2,1) + c(3,2).

Induktion ueber x1.

Induktionsanfang fuer x1 = 0, 1 und 2.
(Kannst du selbst! Suche alle moeglichen Punkte und zeige, dass sie sich so darstellen lassen.)

Induktionsschritt.
Sei (x1,x2) aus U und es gelte x1 > 2.

Fall 1: x2 = 0. Dann ist
(x1,x2) = x1(1,0) + 0(2,1) + 0(3,2).

Fall 2: x2 = 1. Dann ist (x1 - 2,x2 - 1) aus U, denn
3(x2 - 1) <= 2(x1 - 2)
<=>
3x2 <= 2x1 - 1
Dies ist erfuellt, da x2 = 1 und x1 > 2

Nach IV gibt es also a, b, c mit
(x1 - 2,x2 - 1) = a(1,0) + b(2,1) + c(3,2)
Also ist
(x1,x2) = a(1,0) + (b+1)(2,1) + c(3,2)

Fall 3: x2 > 1. Zeige analog zu Fall 2, dass (x1 - 3,x2 - 2) aus U gilt und wende analog zu Fall 2 die IV an.

Da sich keiner der Vektoren (1,0), (2,1), (3,2) aus den anderen beiden dastellen laesst, handelt es sich um ein (inklusions-) minimales Erzeugendensysrem.

Um zu zeigen, dass es sich um ein anzahlminimales ES handelt, musst du zeigen, dass jeder der drei Vektoren in einem ES enthalten sein muss.

Gruss
Z.
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Thorsten Krause
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. April, 2006 - 11:32:   Beitrag drucken

Hallo Zaph,
dann hier auch nochmal meinen herzlichen Dank für die gute und ausführliche Hilfe! Bin jetzt mit der Aufgabe zurecht gekommen.

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