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Konvergenzgüte von e

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Herder (Herder)
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Benutzername: Herder

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2006
Veröffentlicht am Montag, den 27. Februar, 2006 - 13:33:   Beitrag drucken

hi.
habe letztens eine Herleitung der Konvergenzgüte für a_n =(1+1/n)^n entdeckt, nur versteh ich das Ergebnis nicht ganz.
es ist e- a_n = 1- 1/2n + O(1/n^2)

mir ist klar, dass es sich um Landau-Symbole handelt, nur was kann man denn mit dem Ergebnis, insbesondere mit O(1/n^2) nun aussagen?
über die Definition von groß O (Beschränktheit der Funktion O(x), wenn man diese nur x teilt) werd ich jedenfalls auch nicht schlauer.
könnte mir das jemand vielleicht irgendwie erklären?
wäre echt nett!
ciao
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1838
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Februar, 2006 - 13:15:   Beitrag drucken

Ich schaetze mal, deine Formel "1 - 1/2n + O(1/n^2)" stimmt nicht ganz (die "1" stoert mich).

O(1/n^2) ist eine Funktion, die "im wesentlichen" hoechstens so waechst, wie 1/n^2. Es besagt, dass der Fehler, den du machst, wenn du e fÜr grosse n durch a_n naeherungsweise berechnest, nicht allzu gross wird.

Es koennte z. B. sein, dass

e - a_n = 1 - 1/2n + 23/n^2.

Aber auch

e - a_n = 1 - 1/2n + 23/n^2 + 10118/n^3 + 1/2^n

waere moeglich.

... nichts genaues weiss man nicht ...
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Herder (Herder)
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Benutzername: Herder

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2006
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2006 - 14:37:   Beitrag drucken

hi.
danke das hilft mir schonmal!
übrigens ist e - a_n= e/2n - O(1/n^2), hab mich da verguckt.
noch ne Frage:
für die Herleitung sind folgende Beziehungen Voraussetzungen:
ln(1+x)=x- x^2/2 + O(x^3)
und
e^x = 1 + x + O(1/n^2)

woher stammen diese?

und sind evtl. irgendwo Rechenregeln für Landausymbole zu finden?
hab da schon überall gesucht aber nichts gefunden.
es geht z.b. darum, dass O(1/n^2) + O(1/n^3) + O(1/n^4) = O(1/n^2)
oder
e*O(1/n^2) = O(1/n^2)
ist.

wäre echt super, wenn du mir dabei noch helfen könntest
(bin leider noch Schüler und mit der höheren Mathematik noch so gut wie garnicht vertraut)

vielen Dank schonmal!
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1841
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2006 - 18:56:   Beitrag drucken

Hallo Herder,
du meinst wahrscheinlich
ln(1+x) = x + x^2/2 + O(x^3) fÜr x gegen 0
und
e^x = 1 + x + O(x^2) fÜr x gegen 0.

Diese Formel kommen von der Definition des Logarithmus und der Exponentialfunktion. Wie wurden die bei euch definiert?

Rechenregeln fÜr O gibt es etliche.

Z. B.
O(f(n)) + O(g(n)) = O(f(n) + g(n)) = O(max(f(n) + g(n)))

Hieraus folgt
O(1/n^2) + O(1/n^3) + O(1/n^4) = O(1/n^2)

Oder
O(c*f(n)) = c*O(f(n)) = O(f(n))

Hieraus folgt
e*O(1/n^2) = O(1/n^2)
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Herder (Herder)
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Benutzername: Herder

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2006
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2006 - 16:17:   Beitrag drucken

hi.
danke erstmal für deine Hilfe!
habe nur noch eine Frage dazu:
"e^x = 1 + x + O(x^2) fÜr x gegen 0.

Diese Formel kommen von der Definition des Logarithmus und der Exponentialfunktion."

im Unterricht haben wir das nicht besprochen. gibt es da vielleicht noch näheres dazu, wie man auf diesen Term kommt?
danke.
ciao
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1845
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2006 - 17:35:   Beitrag drucken

Nun ja, per definitionem ist

e^x := exp(x) := Summe(n = 0, ..., oo) x^n/n!

Also
exp(x) =
= 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ...
= 1 + x + x^2 * (1/2 + x/6 + x^2/24 + ...)

Der Term in der Klammer ist, wenn x vom Betrag klein genug ist, kleiner als 1 und groesser als 0. (Das muss natuerlich noch nachgewiesen werden!)

Also
exp(x) = 1 + x + x^2 * O(1) = 1 + x + O(x^2)

Diese Definition der e-Funktion ist fuer einen Schueler zugegebenermassen recht ungewoehnlich. Man definiert dann e := exp(1). Und man muss natuerlich noch beweisen, dass die exp-Funktion stetig ist und
exp(x) = lim(p/q -> x) e^(p/q) = lim(p/q -> x) q-teWurzel(e^p)
fuer rationale p/q gilt.

Z.

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