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linda
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 20:16: | 
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komme mit der folgenden aufgabe nicht klar. hoffe, hier sind leute, die mehr ahnung haben als ich.
seien a,b aus R und sei f aus C^1(a,b).zeigen sie:
es existiert eine folge von polynomfunktionen (pn), sodass (pn) gleichmäßig gegen f konvergiert und zugleich (p´n) gleichmäßig gegen f´ konvergiert.
Hinweis: wenden sie den weierstraßschen approximationssatz auf f´an. schreiben sie die damit gefundenen polynomfunktionen als ableitungen gewisser anderer polynomfunktionen und wenden sie darauf den satz über die differenzierbarkeit der grenzfunktion an.
vielen dank schonmal!
lg linda |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2039
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Februar, 2006 - 10:38: |
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Hallo Linda
KÜnntest du vielleicht mal den WeierstraÜschen Approximationssatz posten? Davon gibts mehrere Varianten.
Und den Satz Über die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion am besten auch noch.
MfG
Christian |
linda
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Februar, 2006 - 12:15: |
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hi christian!
moment, ich suche dir die beiden sachen mal raus.
also: approximationssatz
zu jeder stetigen fkt f: (a,b)--> R ex Folge (pn) von polynomen mit pn-->f (gleichmÜÜig)
diff.barkeit der grenzfunktion: seien fn: (a,b) --> R diff.bar. falls (fnÜ) glm konvergent und (fn(xo)) fÜr ein xo aus (a,b) konvergiert, dann gilt a) (fn) glm konvergent
b) die grenzfunktion f=lim fn ist diff.bar mit fÜ=lim fnÜ
hoffe, das reicht. wÜre nett, wenn ich bis heute abend ne antwort hÜtte (ich war leider die letzten tage nicht mehr am pc und konnte deshalb nicht frÜher antworten -- lernstress)
lg linda |
linda
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Februar, 2006 - 12:16: |
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die "Ü" waren eigentlich striche (also ableitung) |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2040
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Februar, 2006 - 15:26: |
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Hallo Linda
Wähle nach dem Weierstraßschen Approximationssatz eine Folge (pn') von Polynomen, die gleichmäßig gegen f' konvergiert(das geht, weil f' stetig ist).
Sei nun x0 ein beliebiger Punkt aus (a,b). Wir wählen nun Polynome pn für n aus IN so, dass zwei Dinge gelten:
1) pn ist Stammfunktion von pn'
Daher auch die Bezeichnungen.
2) pn(x0) = f(x0)
Kleine Begründung warum das geht:
1) Es ist klar, dass jedes Polynom eine Stammfunktion hat.
2) Die Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt. Diese kann so gewählt werden, dass 2) gilt.
Jetzt haben wir also eine Folge (pn) von differenzierbaren Funktionen, deren Ableitungen gleichmäßig gegen f' konvergieren. Weiterhin ist
pn(x0) konstant für alle n, also insbesondere konvergent gegen f(x0).
Aus dem Satz über die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion folgen nun zwei Sachen:
1) (pn) konvergiert gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion g.
2) g' = f'
Aus der zweiten Bedingung folgt
g=f+C mit einer Konstante C.
Nun wissen wir aber
g(x0)=f(x0)
=> C=0
Damit ist alles gezeigt.
MfG
Christian |
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