| Autor |
Beitrag |
    
linda
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Januar, 2006 - 13:00: | 
|
hallo - ich weiß nicht, wie ich folgende aufgaben richtig zeigen soll. habe mir die funktionen schon aufgemalt, aber.... (haben auch nie n beispiel dazu gerechnet)
kann mir bitte jemand sagen, wie das geht?!
a) überprüfen, ob punktweise oder gleichmäßige konvergenz vorliegt und grenzfunktion angeben
1) fn: R-->R ; x --> exp (-n(x²+1))
2) gn: R-->R ; x --> (x+1/n)²
3) hn: R-->R ; x --> nx/(1+betrag nx)
b) fn: R-->R ; x --> nx exp (-nx²)
zu zeigen: funktionenfolge ist auf allen intervallen (a,b), die nicht den nullpunkt enthalten gleichmäßig konvergenz
vielen dank schonmal!
lg linda |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1116
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Januar, 2006 - 17:27: |
|
Linda,
Hinweise:
1) fn(x) £ e-n ® 0 :
(fn(x)} strebt gleichmässig bzgl. x gegen 0.
2) gn(x) strebt punktweise gegen x2 für alle x,
nicht hingegen gleichmässig :
| gn(x) - x2 | = 2x/n + 1/n2 > 2x/n > 1
sobald x > n/2.
3) hn(x) strebt ® 0, wenn x = 0, punktweise
® 1, wenn x>0, und ® -1, wenn x<0 .
Insgesamt also hn(x) ® sgn(x).
Die Konvergenz ist nicht gleichmässig. Für x>0 ist
z.B.
|hn(x) - 1| = 1/(1+nx) > 1/2,
wenn nur x < 1/n.
mfG Orion
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1117
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Januar, 2006 - 18:15: |
|
Fortsetzung:
b) Es genügt, x>0 zu betrachten. Dann gilt
enx2 = 1 + nx2 + (1/2!) n2x4+...
> n2x4/2 =>
|fn(x)| < 2/(nx3)
Im Intervall (a,b) mit a>0 ist dann
|fn(x)| < 2/(na3).
Dies ist < als ein gegebenes e > 0, wenn nur
n > 2/(a3e),
letzteres ist unabhängig von x, daher haben wir
gleichmässige Konvergenz gegen 0.
mfG Orion
|
|
