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Noch mal eine rationale Funktion... :...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Nullstellenbestimmung » Noch mal eine rationale Funktion... :-( « Zurück Vor »

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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 11:56:   Beitrag drucken

Hallo und noch mal ich (aber dann wirklich zum letzten Mal...!)

Ich habe noch mal eine rationale Funktionen - Aufgabe und komme nicht so ganz weiter. So sieht sie aus:

Rationale Funktion

Ich habe jetzt wieder Zähler und Nenner komplett faktorisiert und habe da stehen:

f(x)=[(x-1)(x+3)(x+3)(x+1/5)/[(x+3)(x-3)(x-1)]

Nach dem Kürzen hätte ich dann ja nur noch
f(x)=[(x+3)(x+1/5)]/(x-3)

Stimmt das erst mal so weit?
Was ist nun mein maximaler Definitionsbereich? Vor dem Kürzen wäre es ja R{-3,-1,3}, nach dem Kürzen nur noch R{3}.

Nullstellen sind bei -3 und -1/5?
Polstelle wäre dann bei 3? Und das wäre eine einfache?

Und wie mache ich das mit dem rechts- und linksseitigen Grenzwert?

Bin mal wieder für jede Hilfe dankbar.

Grüße, Julia
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Tux87 (Tux87)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 584
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 13:24:   Beitrag drucken

Definitionsbereich: richtig

Nullstellen:
(x-1)(x+3)(x+3)(x+1/5) ist im ZÜhler
(x-1)(x+3)(x+3)(x+1/5)=0
x=1 fÜllt weg
x=-3 fÜllt weg
x=-1/5
======

Polstellen:
x=-3 fÜllt weg
x=3
===
x=1 fÜllt weg

linksseitig:
setze fÜr x mal 2.9 ein und dann 2.999 und du bekommst folgende Werte:
ca. -914 und -95954 ...
Daher lÜuft es linksseitig gegen -unendlich

rechtsseitig:
x=3.1 --> 1006
x=3.001 --> 96046
rechsseitig gegen +unendlich

ich gebe keine 100% Garantie, aber vielleicht hilft es dir trotzdem etwas ;)
mfG
Tux
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 15:14:   Beitrag drucken

Hi Julia,
beim Faktorisieren ist im Zähler der Faktor 5 verloren gegangen, es müßte heißen:
f(x)=[5*(x-1)(x+3)(x+3)(x+1/5)/[(x+3)(x-3)(x-1)]

Hier noch der Graph der Funktion,
rot ist f(x),
blau und grün sind die asymptotischen Funktionen,
die man durch Polynomdivision erhält.
Gruß von elsa

rat Fkt
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 09:55:   Beitrag drucken

Hallo,

ich muss noch mal nerven:
Welches ist denn nun der "richtige" Definitionsbereich? Der vor oder nach dem Kürzen?
Was meinte Tux immer mit "fällt weg"? Das sind keine Nullstellen und Polstellen?
Ich bin noch ein bisschen verwirrt, wäre toll, wenn mir noch mal jemand weiterhelfen könnte.

Danke, Julia
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 09:56:   Beitrag drucken

Nachtrag: Und von welcher Vielfachheit sind die Nullstellen?
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 10:44:   Beitrag drucken

Der "richtige" Definitionsbereich ist der VOR dem Kürzen.
"Fällt weg" bedeutet, dass der Rechenansatz eine Stelle liefert, die nicht im ("richtigen") Definitionsbereich liegt und deshalb keine Nullstelle oder Polstelle sein kann.
Die Funktion hat nur die Nullstelle x = -1/5. Da der Linearfaktor (x + 1/5) genau 1-mal im Zähler auftaucht ("(x + 1/5) hoch 1"), hat die Nullstelle x = -1/5 die Vielfachheit 1.
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 145
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 11:32:   Beitrag drucken

Hi,

durch das Kürzen werden Definitionslücken behoben,
der Definitionsbereich wird erweitert.
Übrig bleibt der Term
[(5x+1)*(x+3)]/(x-3)
Die Nullstellen von f sind die Zählernullstellen
x=-1/5 und x=-3,
beides einfache Nullstellen (der Graph schneidet die x-Achse),
die Nennernullstellen liefern die Polstellen:
x=3 in diesem Fall.
Siehe Funktionsgraph!

elsa
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 13:00:   Beitrag drucken

Hallo Elsa113!

Grundsätzlich ist jede Funktion f vollständig definiert durch zwei Angaben:

a) durch ihren Definitionsbereich D(f),
b) durch eine Berechnungsvorschrift, die für jedes Argument x aus D(f) angibt, wie man den zugehörigen Funktionswert f(x) ermittelt

Die Berechnungsvorschrift lautet im vorliegenden Fall

f(x) = (x+3)^2(5x^2-4x-1) / [(x^2-9)(x-1)]

In diese Berechnungsvorschrift darf man alle reellen Zahlen einsetzen mit Ausnahme von -3, 3 und 1. Daher ist der maximale Definitionsbereich

D(f) = R \ {-3, 3, 1}.

f ist also folgendermaßen definiert:

(1) f: x --> (x+3)^2(5x^2-4x-1) / [(x^2-9)(x-1)] für alle x aus D(f) = R \ {-3, 3, 1}.

Man kann die Berechnungsvorschrift natürlich auch anders darstellen, nämlich indem man in Linearfaktoren zerlegt und kürzt. Beachte aber, dass grundsätzlich nur solche Ausdrücke gekürzt werden dürfen, die von Null verschieden sind! So erhält man die Definition

(2) f: x --> 5*(x+3)(x+1/5)/(x-3) für alle x aus D(f) = R \ {-3, 3, 1}.

Die Definitionen (1) und (2) sind äquivalent.

Offenkundig ergibt sich ein sinnvoller Wert, wenn man in dem Ausdruck 5*(x+3)(x+1/5)/(x-3) für x die Werte –3 bzw. 1 einsetzt. Dann bist Du aber bei einer neuen Funktion, nämlich der stetigen Fortsetzung der Funktion f, die ich g nennen möchte:

(3) g: x --> 5*(x+3)(x+1/5)/(x-3) für alle x aus D(g) = R \ {-3}.

Es ist f(x) = g(x) für alle x aus D(f) = R \ {-3, 3, 1}, und es ist lim (x->x0) f(x) = g(x0) für x0 aus {-3, 1}.

Die Funktion, die Du diskutiert und deren Graph Du gezeichnet hast, ist die Funktion g (NICHT die Funktion f). Für die Funktion g stimmen Deine Aussagen. Für die Funktion f stimmen Deine Aussagen nicht an den Stellen -3 und 1; der Graph der Funktion f sieht aus wie der Graph von g, nur dass an den Stellen -3 und 1 ein Kringel gemalt werden muss, um anzudeuten, dass diese Stellen nicht im Definitionsbereich liegen.

Dirk
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 14:03:   Beitrag drucken

OK, alles klar! Erst mal vielen, vielen Dank. Dirk, gerade durch deine Erläuterung an elsa ist mir vieles deutlicher geworden :-)!

Hat einer jetzt vielleicht noch einen Tipp, wie ich den rechts- und linksseitigen Grenzwert bestimmen kann ohne "Einsetzen"? Also mathematisch?

Danke, Julia
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 17:09:   Beitrag drucken

Rechtseitiger Grenzwert:
lim (x --> 3+) f(x)
= lim (y --> 0+) f(3 + y)
= lim (z --> +oo) f(3 + 1/z)
= lim (z --> +oo) 5*(3 + 1/z + 3)(3 + 1/z +1/5)/(3 + 1/z -3)
= lim (z --> +oo) 5*(6 + 1/z)(3.2 + 1/z) * z
= 5 * 6 * 3.2 * lim (z --> +oo) z = +oo

Linksseitiger Grenzwert: Analog mit z --> -oo.
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 17:12:   Beitrag drucken

Vielen lieben Dank, jetzt ist mir auch das klar!!!
Danke :-)
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 17:27:   Beitrag drucken

Doch, eine "dumme" Frage noch. Wenn ich nun die Lücken beheben will und -3 und 1 einsetze, kriege ich bei -3 auch 0 raus, was mit meiner Zeichnung übereinstimmt. An der Stelle 1 komme ich aber auf -12 und das sieht ziemlich falsch aus. Wo liegt mein Fehler?
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 17:31:   Beitrag drucken

Das passt auch sonst gar nicht mit meinem Graphen zusammen :-(. Bei der geplotteten Funktion würde es Sinn machen, den rechts- und linksseitigen Grenzwert um -1 zu untersuchen. Ein rechtsseitiger an der Stelle 3 existiert gar nicht :-/.
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 17:41:   Beitrag drucken

Ja, jetzt habe ich auch noch mal den g-Grapg geplottet. Und leider sieht er nicht aus wie der von f mit Kringeln an den Definitionslücken, sondern ganz anders...
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 18:01:   Beitrag drucken

Der Wert y = -12 an der Stelle x = 1 ist korrekt und stimmt auch mit der Zeichnung von Elsa überein: x = 3 ist ja eine Polstelle, und links davon - also z. B. bei x = 1 - geht es ja schon steil abwärts ins "Minus-Unendliche".

Zum Plotten: Bist Du sicher, dass Du bei der Eingabe der Berechnungsvorschrift nicht irgendeinen Flüchtigkeitsfehler gemacht hast, z. B. bei der Division durch (x^2-9)(x-1) Klammern vergessen hast, so dass Du - statt durch (x-1) zu teilen - mit (x-1) multiplizierst?

Die Graphen von f und g müssen ja praktisch identisch sein. Insbesondere haben beide einen Pol bei x = 3.
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Julia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 19:07:   Beitrag drucken

Hallo dirk,

hm, dann habe ich mich wohl wirklich einfach vertippt. Ich werd's noch mal kontrollieren, ansonsten gebe ich das einfach auf eure Verantwortung so ab, wie ich's jetzt habe (also mit -12 und so weiter). ;-)

Schönen Abend noch und noch mal danke!

Julia

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