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Häufungspunkte

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Jasmin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Dezember, 2005 - 20:01:   Beitrag drucken

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Gegeben sind die Folgen a(n) und b(n) definiert durch
a(n)=(1+(-1)^n)*((n+1)/3n) und
b(n)=(((-1)^n)+1)^n

Nun soll ich die Häufungspunkte bestimmen der Mengen M(a)={a(n):n€N} und M(b)={a(b):n€N}.
Als Hinweis ist mir gegeben, dass ich die Folgenglieder getrennt betrachten soll für gerade und ungerade n, aber das ergibt sich wohl von selbst.

Dazu sollte ich vielleicht noch sagen, dass ich nicht wirklich verstanden habe, was Häufungspunkte überhaupt sind. Dazu kommt außerdem noch, dass ich auch im Grenzwerte bestimmen nicht wirklich fit bin und mich immer frage, wie man da drauf kommen soll.

Was ich bis jetzt gemacht habe, ist mir die Folgen betrachtet.

a(n) sieht ja wohl so aus, dass sie für ungerade n gleich 0 ist. Für gerade n befinden sich die Werte wohl zwischen 1 und irgeneiner Zahl nahe 2/3, auf die ich aber auch nur durch Ausprobieren gekommen bin. Wie bestimme ich die "mathematisch"? Und wie bestimme ich dann die Häufungspunkte?

Folge b ist ebenfalls für alle ungeraden n gleich 0. Und für die geraden wächst sie ja wohl ins Unendliche, angefangen bei 4, 16, 64, 256, 1024 und so weiter, also lauter einzelne Punkte.

Ich weiß aber nicht wirklich, was ich damit jetzt anfangen soll. Wäre echt lieb, wenn mir da irgend jemand weiterhelfen könnte.

Grüße, Jasmin
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 721
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Dezember, 2005 - 20:42:   Beitrag drucken

Hi,
deine Ergebnisse stimmen. Den Grenzwert der a(n) fuer die geraden n siehst du am besten, wenn du umformst, in dem Fall ist naemlich
a(n)=2*(n+1)/(3*n)=2/3*(1+1/n)
und da kannst du es direkt ablesen, dass 2/3 ein Haeufungspunkt ist. Die 0 ist zwar ein Haeufungswert der Folge, aber kein Haeufungspunkt der Menge der Folgenglieder, weil in der Umgebung nicht unendlich viele verschiedene Punkte der Menge liegen. Die Haeufungspunkte einer Menge sind also alle Punkte, an die man sich innerhalb der Menge beliebig nah anpirschen kann, ohne draufzutreten.
Bei den b(n) gibt es keinen Haeufungspunkt in R, es sei denn, ihr habt noch oo dazugenommen, dann ware das einer.

sotux
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Jasmin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 11:27:   Beitrag drucken

Hallo sotux,

danke für deine Hilfe! Ich glaube, ich brauche allerdings noch ein bisschen Hilfe mit der Terminologie bzw. wie ich das alles aufschreibe. Ich bin jetzt bei der ersten Folge.
Zunächst geht es mir noch mal um den Grenzwert 2/3. Wie kommst du darauf, für das n im Zähler eine 1 einzusetzen?
Und wie kann ich das dann aufschreiben?
lim(n->oo) (2/3)*((n+1)/n)
Jetzt könnte ich ja auch theoretisch das n wegkürzen oder darf ich das nicht?
Dann stünde da lim(n->oo) (2/3)*((n+1)/n)=lim (n->oo) 2/3*1 = 2/3 ? Würde das als "Beweis" genügen?
Daraus kann ich folgern, dass meine Menge M(a) aus folgenden Elementen besteht:
M = {0} u (vereinigt mit) (2/3, 1]
Gehört der Wert 2/3 mit zur Menge oder nicht? 1 ja definitiv schon.
Und dann würde ich aufschreiben:
H(D) (oder passt hier D nicht?) = [2/3, 1]. Bei den Häufungspunkten ist 2/3 dann ja auf jeden Fall Teil der Menge.

Zur zweiten Folge:
Wir haben in der Vorlesung als Beispiel aufgeschrieben, dass wenn D=IN, dann ist H(D)=leere Menge. Und im Prinzip liegt hier ja dann eine Teilmenge von N vor, also dürfte die Menge der Häufungspunkte erst recht leer sein. Kann ich das so formulieren?

Vielen lieben Dank noch mal,
Jasmin
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 725
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Dezember, 2005 - 20:38:   Beitrag drucken

Hi,

ich hab die Faktoren nur umsortiert und die Summe auseinandergezogen: die 3 aus dem Nenner habe ich vorgezogen und aus (n+1)/n habe ich n/n + 1/n gemacht. Dabei kann man den ersten Bruch kuerzen, also kommt insgesamt 2/3 * (1+1/n) heraus.
Da wir ja nur die geraden n betrachten hast du als Menge der Folgenglieder mit geradem Index also
{2/3*(1+1/2), 2/3*(1+1/4), 2/3*(1+1/8), ...} und Folge geht streng monoton fallend gegen 2/3, d.h. 2/3 ist HP (ohne selbst zur Menge zu gehoeren).
Deinse Argumentation zur 2. Folge ist vollkommen korrekt: Wenn N schon keine HP besitzt kann eine Teilmenge erst recht keine haben.

sotux
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Jasmin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 17:46:   Beitrag drucken

Hallo,

da bin ich noch mal. Habe noch eine kurze Frage zum ersten Teil der Aufgabe.

Ist der Bereich meiner HP dann das Intervall [1, 2/3] oder sind das wirklich nur die einzelnen Punkte, also die Menge mit den einzelnen Elementen 1, 5/6, 7/9, 3/4 und so weiter bis 2/3?

Wäre lieb, wenn das noch mal jemand klären könnte.
Danke!

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