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Tangensfunktion

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Yvonne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 12:20:   Beitrag drucken

Gegeben ist die ganz normale Tangensfunktion. Nun soll ich ein maximales Intervall I(T) mit 0€I(T) für den Tangens angeben, auf dem er definiert ist. Danach muss ich prüfen, ob der Tangens auf diesem Intervall I(T) gerade bzw. ungerade und ob er monoton ist.
Wie die Funktion aussieht, weiß ich und daraus kann ich auch ein bisschen was ableiten, aber wie mache ich das Ganze ohne Zeichnung?

Vielen lieben Dank schon mal!

Yvonne
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2012
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 13:10:   Beitrag drucken

Hallo Yvonne

Es ist tan(x)=sin(x)/cos(x)
Als maximales Intervall um 0 wählen wir (-p/2,p/2).
Denn an den stellen x=±p wird der cosinus im Nenner 0.

Es gilt -tan(-x)=-sin(-x)/cos(-x)
Wegen sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x) folgt, dass -tan(-x)=tan(x) gilt. Also ist die Funktion ungerade.
Dass sie nicht gerade ist kannst du leicht mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

Monotonie:
Ableitung des Tangens ist
(tan(x))'=(cos(x)*cos(x)+sin(x)*sin(x))/cos2(x)=1/cos2(x)>0
Also ist die Funktion streng monoton wachsend.

MfG
Christian
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Yvonne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:07:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

dankeschön! Ist mir eigentlich alles klar, bis auf die Monotonie. Muss ich die durch eine Ableitung zeigen?

Danke, Yvonne
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2019
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:26:   Beitrag drucken

Hallo Yvonne

Du kannst auch über die Monotonie-Bereiche von sinus und cosinus argumentieren.
Im Intervall [0,p) ist sin(x) streng monoton wachsend und positiv. cos(x) ist dort streng monoton fallend und positiv. Es folgt, dass tan(x) dort streng monoton wachsend ist.
Völlig analog kannst du das für den Bereich (-p,0] zeigen.

MfG
Christian
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Yvonne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 21:51:   Beitrag drucken

Noch mal Hallo und noch mal Danke!

Welche Regel sagt mir, dass ich so argumentieren kann? Also wieso folgt aus einem positiven monoton wachsenden Zähler und einem positiven monoton fallenden Nenner, dass der Bruch insgesamt monoton wachsend ist?

Danke, danke, danke,

Yvonne
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2023
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 17. Dezember, 2005 - 11:22:   Beitrag drucken

Hallo Yvonne

Probier das doch einfach mal fÜr ganz normale reelle Zahlen aus. Ein Bruch wird grÜÜer, wenn der ZÜhler grÜÜer oder der Nenner kleiner wird.
(Im ZÜhler und Nenner jeweils positive Zahlen).

MfG
Christian

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