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Stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 12:14: | 
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Hi zusammen,
ich bin ein bisschen verzweifelt. Mir ist die Funktion 1/(1+x) gegeben.
Nun soll ich eine maximale Definitionsmenge D (D Teilmenge von R) angeben. Maximale Definitionsmenge ist der ganz normale Definitionsbereich, also x€R ohne -1?
Danach soll ich die Funktion untersuchen auf Geradheit/Ungeradheit und auf Monotonie.
Das kann ich, wenn ich mir ein Bild male, aber wie würde ich das rechnerisch herausbekommen?
Und den letzten Teil verstehe ich gar nicht: Geben Sie maximale Teilmengen von D an, auf denen die Monotonie erhalten bleibt. Was ist damit gemeint?
Vielen Dank für jede Hilfe. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2013
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 13:16: |
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Hallo Stefanie
Dein Definitionsbereich ist korrekt.
Die Funktion bezeichne ich mal mit f.
f ist nicht gerade, denn
-1=f(-2)¹f(2)=1/3
f ist nicht ungerade, denn
1=-f(-2)¹f(2)=1/3
Für die Monotonie bilden wir die Ableitung:
f'(x)=-1/(1+x)2<0 für alle x€D
Hier musst du beachten, dass du eine Definitionslücke bei x=-1 hast. Also ist deine Funktion auf den maximalen Teilmengen D1 und D2 von D mit D1={x€D | x<-1} und D2={x€D | x>-1} jeweils streng monoton fallend.
MfG
Christian |
Stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:06: |
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Hi Christian,
vielen Dank! Kann ich die Monotonie auch anders zeigen als durch die Ableitung? Denn Ableitungen kennen wir theoretisch noch nicht (also nicht im Rahmen dieser Vorlesung...)
Stefanie |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2018
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:21: |
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Hallo Stefanie
Sei y>x
=> 1+y > 1+x
Wir nehmen nun an, dass wir uns "rechts" von der Definitionslücke befinden, d.h. x und y sollen größer als -1 sein. Dann folgt
1/(1+x) > 1/(1+y)
Also ist die Funktion streng monoton fallend!
Jetzt betrachten wir noch den Fall, dass x und y beide kleiner als -1 sind, insbesondere 1+x<0 und 1+y<0.
Wir gehen wieder von der Gleichung
1+y > 1+x aus.
Nun dividieren wir beide Seiten durch (1+x)*(1+y) wie oben. Auch hier ist (1+x)(1+y) eine positive Zahl, also gilt auch hier
1/(1+x) > 1/(1+y).
MfG
Christian |
Stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 22:49: |
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Hi Christian,
ich habe noch nicht das Rätsel gelöst, wieso sich das Vorzeichen dann umdreht, wenn das Produkt (1+x)*(1+y) positiv ist.
Aus 1+y > 1+x wird
1/(1+y) < 1/(1+x). Wieso? Wahrscheinlich ist es wieder irgendso ein dummer Denkfehler.
Auf alle Fälle schon mal vielen Dank für deine Hilfe! |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1528
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Dezember, 2005 - 22:26: |
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Hi Stefanie,
bei Ungleichungen gibt es spezielle Regeln
multipliziert man mit etwas negativem kehrt sich das Ungleichheitszeichen um;
es kehrt sich auch um, wenn man beide Seiten stürzt, wie Du es soeben
mit 1+y > 1+x => 1/(1+y) < 1/(1+x)
gemacht hast;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Dezember, 2005 - 08:51: |
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Alles klar, danke! |
