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Eigenschaften der Funktion 1/(1+x)...

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Stefanie
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 12:14:   Beitrag drucken

Hi zusammen,

ich bin ein bisschen verzweifelt. Mir ist die Funktion 1/(1+x) gegeben.
Nun soll ich eine maximale Definitionsmenge D (D Teilmenge von R) angeben. Maximale Definitionsmenge ist der ganz normale Definitionsbereich, also x€R ohne -1?
Danach soll ich die Funktion untersuchen auf Geradheit/Ungeradheit und auf Monotonie.
Das kann ich, wenn ich mir ein Bild male, aber wie würde ich das rechnerisch herausbekommen?
Und den letzten Teil verstehe ich gar nicht: Geben Sie maximale Teilmengen von D an, auf denen die Monotonie erhalten bleibt. Was ist damit gemeint?

Vielen Dank für jede Hilfe.
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2013
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 13:16:   Beitrag drucken

Hallo Stefanie

Dein Definitionsbereich ist korrekt.

Die Funktion bezeichne ich mal mit f.
f ist nicht gerade, denn
-1=f(-2)¹f(2)=1/3

f ist nicht ungerade, denn
1=-f(-2)¹f(2)=1/3

Für die Monotonie bilden wir die Ableitung:
f'(x)=-1/(1+x)2<0 für alle x€D
Hier musst du beachten, dass du eine Definitionslücke bei x=-1 hast. Also ist deine Funktion auf den maximalen Teilmengen D1 und D2 von D mit D1={x€D | x<-1} und D2={x€D | x>-1} jeweils streng monoton fallend.

MfG
Christian
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Stefanie
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:06:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielen Dank! Kann ich die Monotonie auch anders zeigen als durch die Ableitung? Denn Ableitungen kennen wir theoretisch noch nicht (also nicht im Rahmen dieser Vorlesung...)

Stefanie
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2018
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:21:   Beitrag drucken

Hallo Stefanie

Sei y>x
=> 1+y > 1+x
Wir nehmen nun an, dass wir uns "rechts" von der Definitionslücke befinden, d.h. x und y sollen größer als -1 sein. Dann folgt
1/(1+x) > 1/(1+y)
Also ist die Funktion streng monoton fallend!

Jetzt betrachten wir noch den Fall, dass x und y beide kleiner als -1 sind, insbesondere 1+x<0 und 1+y<0.
Wir gehen wieder von der Gleichung
1+y > 1+x aus.
Nun dividieren wir beide Seiten durch (1+x)*(1+y) wie oben. Auch hier ist (1+x)(1+y) eine positive Zahl, also gilt auch hier
1/(1+x) > 1/(1+y).

MfG
Christian
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Stefanie
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 22:49:   Beitrag drucken

Hi Christian,

ich habe noch nicht das Rätsel gelöst, wieso sich das Vorzeichen dann umdreht, wenn das Produkt (1+x)*(1+y) positiv ist.
Aus 1+y > 1+x wird
1/(1+y) < 1/(1+x). Wieso? Wahrscheinlich ist es wieder irgendso ein dummer Denkfehler.

Auf alle Fälle schon mal vielen Dank für deine Hilfe!
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1528
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 17. Dezember, 2005 - 22:26:   Beitrag drucken

Hi Stefanie,

bei Ungleichungen gibt es spezielle Regeln

multipliziert man mit etwas negativem kehrt sich das Ungleichheitszeichen um;
es kehrt sich auch um, wenn man beide Seiten stürzt, wie Du es soeben

mit 1+y > 1+x => 1/(1+y) < 1/(1+x)

gemacht hast;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Stefanie
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Dezember, 2005 - 08:51:   Beitrag drucken

Alles klar, danke!

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