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Katja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 16:48: | 
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Hallo.
Also ich habe hier einen Beweis durch vollständige Induktion und soll nun herausfinden, was hier falsch ist. Aber irgendwie finde ich hier keinen Fehler. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen, wäre super. ist nämlich wirklich wichtig.
Die Aufgabe lautet:
Vorgegeben sei folgende Behauptung mit dem "Beweis":
Behauptung: Für alle n € N gilt: 8n < n² +12. Beweis durch vollständige Induktion.
a)Induktionsanfang: Für n =1 gilt: 8n=8 und n²+12=13 "8<13" ist wahr
b)Induktionsschluss: I.-Voraussetzung:Für ein n gelte 8n<n²+12
-> 8(n+1)=8n+8<(n²+12)+8(wegen Induktionsvoraussetzung)
->8(n+1)<(n²+8)+12 (Assoziativgesetz)
->8(n+1)<(n²+2n+1)+12, da 2n+1 auf jeden Fall größer wird als 8. Damit ist die Induktionsbehauptung, nämlich die Ungleichung 8(n+1)<(n+1)²+12, aus der Induktionsvoraussetzung hergeleitet.
So, dass war jetzt der Beweis und nun die Aufgaben dazu:
Nun ist die Ungleichung für n 3 offensichtlich falsch.
a)Es soll erläutert werden, wo der Fehler steckt.
b)Es soll eine Bedingung formuliert werden, unter der der "Induktionsschritt" gilt
c)Es soll eine Aussage formuliert werden, für die der Beweis nach Korrektur ggf. auch des Induktionsanfangs passt.
Es wäre super, wenn jemand die Aufgabe verstehen würde und mir dann helfen könnte, denn ich verstehe das überhaupt nicht.
Vielen Dank,
Gruß Katja |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1647
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 17:41: |
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Hi!
Die Behauptung kann etwas umgeformt werden:
0 < n² - 8n + 12
Der rechte Term ist eine quadratische Funktion in n, deren Graph eine Parabel darstellt, von welcher der Teil zwischen 2 und 6 einen negativen Funktionswert besitzt (bei n = 1 ist der Term noch positiv, bei 2 und 6 gleich 0, bei 3, 4 und 5 negativ). Also gilt die Formel uneingeschränkt erst ab n = 7!
Die Funktion ist ab diesem n = 7 durchwegs streng monoton steigend, sodass die Behauptung für alle natürlichen n > 6 gilt.
Gr
mYthos |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1992
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 17:53: |
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Hallo Katja
Zu a) Offenbar steckt der Fehler bei
"->8(n+1)<(nÜ+2n+1)+12, da 2n+1 auf jeden Fall grÜÜer wird als 8"
2n+1 ist eben nicht immer grÜÜer als 8. Wenn du z.B. vom Fall n=1 auf den Fall n=2 schlieÜen willst machst du hier einen Fehler.
Und genau das machst du ja bei einer Induktion, die bei n=1 anfÜngt.
Wenn du das verstanden hast ist der Rest auch nicht mehr schwer.
MfG
Christian |
Katja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 07:43: |
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Hallo,
genau das habe ich ja nicht verstanden.
Ich weiß auch gar nicht, was soll man denn zu Aufgabe b und c schreiben?
ich versteh im moment echt nur noch bahnhof sorry!
gruß Katja |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1994
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 10:10: |
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Hallo Katja
Du hast hier eine Aussage A(n), die von einer natürlichen Zahl n abhängt, nämlich
A(n): 8n < n2 +12
Bei der Induktion beweist du nun, dass die Aussage A(1) stimmt, d.h. 8*1 < 12 +12.
Nun willst du für alle natürlichen Zahlen n zeigen, dass die Folgerung
A(n)=> A(n+1) gilt.
Dann stimmt die Aussage nämlich für alle natürlichen Zahlen n. Du kannst dann nämlich aus A(1) [was wahr ist nach Induktionsanfang] die Aussage A(2) folgern, daraus wiederum die Aussage A(3) usw.
Nun ist oben das fettgedruckte alle wichtig. Der Beweis von A(n) => A(n+1) soll für alle n richtig sein, insbesondere also für n=1. Dann gehen wir deinen Beweis oben doch einmal für diesen Spezialfall durch. Ich schreibe immer erst den allgemeinen Fall hin und dann das, was es hier im Spezialfall bedeutet:
[8(n+1)=8n+8<(n2+12)+8(wegen Induktionsvoraussetzung)]
8*(1+1)=8*1+8<12+12+8 (weil A(1) stimmt)
[->8(n+1)<(n²+8)+12 (Assoziativgesetz)]
=> 8*(1+1)<(12+8)+12 (Auch einfach Assoziativgesetz)
[->8(n+1)<(n²+2n+1)+12, da 2n+1 auf jeden Fall größer wird als 8]
=> 8*(1+1)<(12+2*1+1)+12 (da 2*1+1 auf jeden Fall größer als 8]
Du siehst, dass die letzte Zeile völliger Schwachsinn ist, von daher ist auch dort der Fehler. Bei deinem Beweis oben funktioniert der Schluss von A(1) auf A(2) nicht!
Der Beweis wäre allerdings richtig, wenn n³4 ist, denn dann ist tatsächlich 2n+1>8.
Wenn du also zeigst, dass die Aussage für irgendein n³4 gilt, dann gilt sie auch für alle größeren natürlichen Zahlen, weil du dann deinen Induktionsschluss anwenden kannst.
MfG
Christian |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1649
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 11:14: |
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@Christian
Die Aussage A(n) gilt weder für n = 5, noch für n = 6, erst für natürliche n > 6!
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Katja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 11:40: |
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Hey!
Super. Vielen Dank für eure schnelle Hilfe!
Katja |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1996
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 12:24: |
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Hallo Mythos
Ja, das stimmt. Ich meinte mit meinem letzten Teil auch nur, dass der Induktionsschluss für n³4 stimmt. War sicher etwas falsch da von "Der Beweis" zu reden.
In den Fällen n³4 stimmt der Induktionsschluss, aber der Induktionsanfang geht für n=4,5,6 in die Hose.
Deshalb hatte ich auch geschrieben, dass man die Aussage für irgendein n³4 zeigen muss.
MfG
Christian |
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