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Verknüpfung

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Bianca
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 07:36:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich muss eine Aufgabe zur Restklassenmultiplikation lösen, aber ich versteh das irgendwie so gar nicht.

Aufgabe: Auf N0 sei für a,b € N0 eine Verknüpfung definiert durch: a xO b :=a²+b²

a)Ist die Verknüpfung kommutativ oder assoziativ?
b)Gibt es ein neutrales Element n € N0, so dass für alle a €N0 gilt: a xO n = n xO a =a?
c)Die Abbildung f: N0xN0 -> N0 sei definiert durch f((a,b)):=a xO b
Ist f injektiv oder ist f surjektiv?

Dieses komische xO Gebilde soll das Zeichen für die restklassenmultiplikation darstellen, also dieser Kreis mit dem x drin.

Es wäre wirklich super, wenn jemand diese Aufgabe lösen könnte. ich versteh die leider überhaupt nicht.Ist wirklich wichtig.

Lieben Gruß Bianca
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1995
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 10:24:   Beitrag drucken

Hallo Bianca

Ist gar nicht so schwer die Aufgabe, du führst einfach alles auf die Regeln in den natürlichen Zahlen zurück.
Ich schreibe für die Verknüpfung mal einfach nur x, den Kreis kannst du ja dann noch drum rum machen :-)

a) Kommutativgesetz: Für a,b € N0 gilt
a x b =a2+b2
In den natürlichen Zahlen gilt das kommutativgesetz, also
=b2+a2= b x a

Das Assoziativgesetz gilt nicht!
Wähle zum Beispiel die Zahlen 1,2 und 3, dann gilt
(1 x 2) x 3 = (1 + 4) x 3 = 5 x 3 = 25 + 9 = 34
Aber
1 x (2 x 3) = 1 x (4 + 9) = 1 x 13 = 170

b) Es gibt kein neutrales Element. Wähle zum Beispiel a = 2 aus. Dann gilt für jede natürliche Zahl n:
a x n = n x a = n2+a2³a2=4>2
Also in jedem Fall 2 x n ¹ 2

c) Da die Verknüpfung "x" kommutativ ist, gilt in jedem Fall f((a,b))=f((b,a)), also ist die Abbildung schonmal nicht injektiv(z.B. f((1,2))=f((2,1)))
Surjektiv ist sie auch nicht, denn die 3 lässt sich zum Beispiel nicht als Summe zweier Quadrate schreiben.

MfG
Christian
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Bianca
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 15:54:   Beitrag drucken

Hey,
ja super . Vielen Dank Christian

Lieben Gruß
Bianca

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