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vertauschen von grenzwert und summe

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linda
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 05. Dezember, 2005 - 18:04:   Beitrag drucken

wie löst man hier den ersten teil?
1.
man soll den limes der summe (n/(n+k)(n+k+1)) berechnen und als hinweis ist angegeben,dass man zuerst eine partialbruchzerlegung 1/(n+k)(n+k+1)=a/n+k + b/n+k+1 mit geeigneten a,b aus R machen soll.

2. die summe der limites vom oben genannter reihe.(das ist aber klar,weil jede partialsumme gegen 0 geht)

auch hierfür schonmal danke


lg linda
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1991
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Dezember, 2005 - 15:05:   Beitrag drucken

Hallo Linda

Wir berechnen a und b:
1/((n+k)(n+k+1))=a/(n+k)+ b/(n+k+1)
<=> 1=a*(n+k+1)+b*(n+k)
<=> 1=(a+b)*n+(a*(k+1)-b*k)
Da dies für alle n gelten soll, folgt a+b=0 und (a*(k+1)-b*k)=1
Daraus folgt sofort a=1 und b=-1.
Bei der Reihe nutzt du dann den sogenannten Teleskopeffekt aus, d.h. hier kürzen sich fast alle Reihenglieder weg.
Als Ergebnis solltest du 1/k erhalten, jedenfalls wenn die Reihe bei n=0 startet.

Bei der 2) sollst du dann wohl die Reihe über k berechnen mit den Gliedern 1/k. Das ist die harmonische Reihe und die wächst bekanntlich über alle Grenzen.

MfG
Christian
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linda
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Dezember, 2005 - 16:02:   Beitrag drucken

vielen dank

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