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Injektivität, Surjektivität, Bijektiv...

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Nils
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 11:57:   Beitrag drucken

Hallo,

ich brauche mal wieder Hilfe mit meinen Hausübungen. Für die folgenden Funktionen soll ich jeweils begründen, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
2.) nur kontrollieren, 1.) müsste schnell gehen und bei 3.) bin ich vollkommen verzweifelt :-( und für jede Hilfe dankbar!

1.) f:R ® R, x ® x^4, D(f)=R
Da bin ich so weit, dass es definitiv nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv ist. Was ist aber mit der Surjektivität? Ich hatte mir das "für Dumme" so gemerkt, dass jedem Element aus Y mindestens ein Element aus X zugeordnet sein muss. Wie sieht das hier jetzt aus, da sich das Ganze ja nur im positiven Bereich abspielt? Ist es trotzdem surjektiv? Oder nicht, da nicht jedem y-Wert mindestens ein x-Wert entspricht?

2.) g: No ® Z, n ® [(-n/2) falls n gerade ist] und [((n+1)/2) falls n ungerade ist], D(g)=No
Hier würde ich sagen, das ist bijektiv, da es sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Stimmt das?

3.) h:R ® RxR, t ® (t, t²), D(h)=R
Hier kann ich mehr oder weniger nur raten. Ich würde vermuten, dass es injektiv ist. Bei der Surjektivität habe ich wieder keine Ahnung und damit auch nicht bei der Bijektivität. Wäre lieb, wenn mir da jemand helfen könnte!
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Nils
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 13:34:   Beitrag drucken

Keiner, der das mal schnell nachschauen kann? :-(
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1973
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 16:24:   Beitrag drucken

Hallo Nils

Zu 1.) Dein Bildbereich ist ganz IR, von daher ist die Abbildung nicht injektiv. Z.B. hat der Wert -1 kein Urbild.
Du kannst natürlich deinen Bildbereich auf die nicht-negativen reellen Zahlen einschränken, dann ist die Abbildung auch surjektiv.

Genauso kannst du den Definitionsbereich aus die nichtnegativen reellen Zahlen einschränken. Dort ist die Abbildung injektiv.

2) Stimmt, ist bijektiv. Übrigens zeigt das, dass die Mengen No und Z gleichmächtig, d.h. in gewisser Weise gleich groß, sind.

3) Ist injektiv, aber nicht surjektiv:
(0,-1) hat z.B. kein Urbild.

Die Injektivität folgt sofort aus der ersten Komponente.
Also angenommen h(t1)=h(t2)
=> (t1,t12)=(t2,t22)
=> t1=t2
=> h injektiv

MfG
Christian
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Nils
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. November, 2005 - 08:22:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielen lieben Dank, jetzt ist mir das auch bei 3. klar!
Dankeschön :-)!

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