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Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 131 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Juni, 2005 - 15:09: |
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Man finde ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, daß die Zahl t = wurzel(2) + wurzel(3) + wurzel(5) + wurzel(7) als Nullstelle besitzt! |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1056 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Juni, 2005 - 15:44: |
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Kay, Denkanstoss: Versuchen wir es mit t = sqrt(2) + sqrt(3) => (t-sqrt(2))2 = 3 => t2 -1 = sqrt(8)t => (t2-1)2 -8t2 = 0 <=> t4 - 10t2 +1 = 0 mfG Orion
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Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 132 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Juni, 2005 - 08:36: |
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Hallo, Dieser Ansatz funktioniert, solange man maximal drei Wurzeln in der Gleichung hat - bei vier Wurzeln hilft auch Quadrieren nicht weiter: (t - sqrt(2))^2 = (sqrt(3) + sqrt(5) + sqrt(7))^2 t^2 - 2sqrt(2)t + 2 = 2sqrt(35) + 2sqrt(21) + 2sqrt(15) + 15 Immer noch vier Wurzeln, die sich auch nicht irgendwie zusammenfassen lassen. Das Quadrieren von zwei (auf einer Seite isolierter) Wurzeln bringt auch nichts... |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1057 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Juni, 2005 - 10:59: |
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Kay, Folgender Weg wird, denke ich, zum Ziel führen: Für x = sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5) findest Du x8 - 40x6 + 352x4 - 960x2 + 576 = 0 Setze nun x = t - sqrt(7) ein und isoliere alle Terme mit dem Faktor sqrt(7) auf einer Seite. Nochmaliges Quadrieren liefert die gewünschte Polynomgleichung vom Grad 16. mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1058 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Juni, 2005 - 14:47: |
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Kay, Prüfe nach, dass p = t16 - 136t14 + 6476t12-141912t10 + 1513334t8 - 745317t6 + 13950764t4 - 5596840t2 + 46225 das Verlangte leistet. Maple bestätigt : p(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)+sqrt(7)) = 0 ! mfG Orion
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Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 133 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Juni, 2005 - 20:41: |
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Hallo Orion Deine Lösung ist einfach genial! Auf die Substitution bin ich gar nicht gekommen. Außerdem folgt daraus, daß man beliebig viele Wurzeln durch schrittweise Substitution eliminieren kann. Danke Kay |