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Polynom gesucht

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Kay_s (Kay_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 131
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Juni, 2005 - 15:09:   Beitrag drucken

Man finde ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, daß die Zahl

t = wurzel(2) + wurzel(3) + wurzel(5) + wurzel(7)

als Nullstelle besitzt!
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1056
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Juni, 2005 - 15:44:   Beitrag drucken

Kay,

Denkanstoss: Versuchen wir es mit

t = sqrt(2) + sqrt(3) =>

(t-sqrt(2))2 = 3 => t2 -1 = sqrt(8)t =>

(t2-1)2 -8t2 = 0 <=> t4 - 10t2 +1 = 0
mfG Orion
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Kay_s (Kay_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Juni, 2005 - 08:36:   Beitrag drucken

Hallo,

Dieser Ansatz funktioniert, solange man maximal drei Wurzeln in der Gleichung hat - bei vier Wurzeln hilft auch Quadrieren nicht weiter:

(t - sqrt(2))^2 = (sqrt(3) + sqrt(5) + sqrt(7))^2
t^2 - 2sqrt(2)t + 2 = 2sqrt(35) + 2sqrt(21) + 2sqrt(15) + 15

Immer noch vier Wurzeln, die sich auch nicht irgendwie zusammenfassen lassen.
Das Quadrieren von zwei (auf einer Seite isolierter) Wurzeln bringt auch nichts...
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1057
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Juni, 2005 - 10:59:   Beitrag drucken

Kay,

Folgender Weg wird, denke ich, zum Ziel führen:
Für

x = sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)

findest Du

x8 - 40x6 + 352x4 - 960x2 + 576 = 0

Setze nun x = t - sqrt(7) ein und isoliere alle
Terme mit dem Faktor sqrt(7) auf einer Seite.
Nochmaliges Quadrieren liefert die gewünschte
Polynomgleichung vom Grad 16.
mfG Orion
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1058
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Juni, 2005 - 14:47:   Beitrag drucken

Kay,

Prüfe nach, dass

p = t16 - 136t14 + 6476t12-141912t10

+ 1513334t8 - 745317t6 + 13950764t4

- 5596840t2 + 46225

das Verlangte leistet. Maple bestätigt :

p(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)+sqrt(7)) = 0 !
mfG Orion
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Kay_s (Kay_s)
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Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Juni, 2005 - 20:41:   Beitrag drucken

Hallo Orion

Deine Lösung ist einfach genial! Auf die Substitution bin ich gar nicht gekommen.

Außerdem folgt daraus, daß man beliebig viele Wurzeln durch schrittweise Substitution eliminieren kann.

Danke
Kay

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