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matze
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 13. Juni, 2005 - 20:59: |
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n'abend zusammen...mit dieser aufgabe schlage ich mich herum ich soll zeigen das die funktion f(x)={x+x^2 sin 1/x falls x ungleich 0 0 falls x = 0 im punkt x =0 wächst, aber nicht auf intervallen (-epsilon, epsilon) mit (epsilon>1 beliebig klein), die diesen punkt enhalten. ich weiss momentan nicht einmal wie ich anfangen soll..matze |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1043 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Juni, 2005 - 10:35: |
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matze, Vorschlag : Wir berechnen zunächst f'=(0) direkt über den Differenzenquotienten [f(x)-f(0)]/(x-0) = 1 + x15{rebt für x®0 offenbar gegen 1, somit ist f'(0)=1, was den ersten Teil der Behauptung beweist. Für x0 ist (rechne nach !) f'(x) = 1 + 2x*sin(1/x) - cos(1/x) = 2*sin2(1/2x) + 4x*sin(1/2x)*cos(1/2x) = 2*sin(1/2x)*cos(1/2x)*[tan(1/2x) + 2x] = sin(1/x)*[tan(1/2x) + 2x]. Die Funktion h(u) := tan u + 1/u hat unendlich viele einfache Nullstellen ±un, wobei un ®¥. Für die Folge xn = 1/2un gilt also: xn®0, und f'(x) hat bei x=xn einfache Nullstellen, dort finden also Vorzeichenwechsel von f' statt d.h. in jeder e-Umgebung von 0 wechselt f' unendlich oft das Vorzeichen. In keiner e- Umgebung von 0 ist somit f monoton. Vielleicht kann das jemand eleganter ? mfG Orion
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dirk
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Juni, 2005 - 10:36: |
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a) Zeige zunächst, dass f im Punkt x = 0 differenzierbar ist, indem Du auf die Definition der ersten Ableitung zurückgreifst, d. h. indem Du f'(0) = lim [x --> 0] (f(x) – f(0)) / (x - 0) berechnest: Kürzen im Differenzenquotienten + Beschränktheit der Sinus-Funktion liefert f'(0) = 1 > 0, also Wachstum im Punkt x = 0. b) Für x != 0 kann man f‘(x) mit üblicher Differentialrechnung ermitteln: f'(x) = 1 + 2 * x * sin(1/x) – cos (1/x) Wenn man zeigen möchte, dass f auf Intervallen (-epsilon, epsilon) nicht wächst, so kann man Nullfolgen (x_n) so konstruieren, dass i) für jedes x_n der Wert der 1. Ableitung f‘(x_n) negativ ist oder ii) für jedes x_n die Funktion f ein relatives Maximum hat Für den Weg ii) kann man z. B. mal die Nullfolge x_n = 1 / (2 * pi * n) ausprobieren, denn für sie ist f'(x_n) = 1 + 2 * [1 / (2 * pi * n)] * 0 – 1 = 0. |
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