Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

zeigen sie das die funktion im pkt. x...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » zeigen sie das die funktion im pkt. x=0 wächst « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

matze
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 13. Juni, 2005 - 20:59:   Beitrag drucken

n'abend zusammen...mit dieser aufgabe schlage ich mich herum ich soll zeigen das die funktion
f(x)={x+x^2 sin 1/x falls x ungleich 0
0 falls x = 0

im punkt x =0 wächst, aber nicht auf
intervallen (-epsilon, epsilon) mit (epsilon>1 beliebig klein), die diesen punkt enhalten.

ich weiss momentan nicht einmal wie ich anfangen soll..matze
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1043
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Juni, 2005 - 10:35:   Beitrag drucken

matze,

Vorschlag :

Wir berechnen zunächst f'=(0) direkt über den
Differenzenquotienten

[f(x)-f(0)]/(x-0) = 1 + x15{rebt für x®0 offenbar gegen 1, somit ist
f'(0)=1, was den ersten Teil der Behauptung beweist.
Für x‡0 ist (rechne nach !)

f'(x) = 1 + 2x*sin(1/x) - cos(1/x) =

2*sin2(1/2x) + 4x*sin(1/2x)*cos(1/2x) =

2*sin(1/2x)*cos(1/2x)*[tan(1/2x) + 2x] =

sin(1/x)*[tan(1/2x) + 2x].

Die Funktion

h(u) := tan u + 1/u

hat unendlich viele einfache Nullstellen ±un,
wobei un ®¥. Für die Folge xn =
1/2un gilt also: xn®0, und f'(x) hat bei x=xn einfache Nullstellen, dort finden also Vorzeichenwechsel von f'
statt d.h. in jeder e-Umgebung von 0 wechselt
f' unendlich oft das Vorzeichen. In keiner e-
Umgebung von 0 ist somit f monoton.

Vielleicht kann das jemand eleganter ?
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

dirk
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Juni, 2005 - 10:36:   Beitrag drucken

a) Zeige zunächst, dass f im Punkt x = 0 differenzierbar ist, indem Du auf die Definition der ersten Ableitung zurückgreifst, d. h. indem Du

f'(0) = lim [x --> 0] (f(x) – f(0)) / (x - 0)

berechnest: Kürzen im Differenzenquotienten + Beschränktheit der Sinus-Funktion liefert

f'(0) = 1 > 0,

also Wachstum im Punkt x = 0.

b) Für x != 0 kann man f‘(x) mit üblicher Differentialrechnung ermitteln:

f'(x) = 1 + 2 * x * sin(1/x) – cos (1/x)

Wenn man zeigen möchte, dass f auf Intervallen (-epsilon, epsilon) nicht wächst, so kann man
Nullfolgen (x_n) so konstruieren, dass

i) für jedes x_n der Wert der 1. Ableitung f‘(x_n) negativ ist

oder

ii) für jedes x_n die Funktion f ein relatives Maximum hat

Für den Weg ii) kann man z. B. mal die Nullfolge

x_n = 1 / (2 * pi * n)

ausprobieren, denn für sie ist

f'(x_n) = 1 + 2 * [1 / (2 * pi * n)] * 0 – 1 = 0.

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page