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conny
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 10:16: |
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hallo alle hier...mit diesen 2 aufgaben tue ich mich schwer bei der anwendung von l hospital lim x->+oo x^n/e^ax lim x->0 [(1+x)^1/x / e ]^1/x vielleicht weiss jemand rat...conny |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1453 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 12:53: |
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Hallo, zu 1. Zaehler und Nenner n mal ableiten! Die Ableitung des Zaehlers ist dann n*(n - 1)*(n - 2)*....*2*1 = n!, also eine endliche Zahl, die des Nenners (a^n)*e^(ax). Da der Nenner ueber alle Grenzen geht, ist der Grenzwert des ganzen Bruches 0. Gr mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1454 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 13:06: |
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.. und bei 2. ... war offensichtlich falsch, muss nochmal ueberpruefen. Gr mYthos (Beitrag nachträglich am 07., Juni. 2005 von mythos2002 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5146 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 17:51: |
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Hallo Mythos Die zweite Aufgabe ist tatsächlich schwierig! Ich erhalte, ohne Gewähr, als Grenzwert: G = e ^ ( -1/2). Ich habe mit dem Logarithmus des gegebenen Terms und einer Reihenentwicklung von ln(1+x) gearbeitet. gearbeitet. Kannst du das Resultat bitte überprüfen? Gruss HRM |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5147 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 19:06: |
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Hi Mit der von mir angedeuteten Methode kann statt der Reihenentwicklung auch die Regel von de L´Hospital / Bernoulli eingesetzt werden. Die ausführliche Berechnung folgt,wenn noch nötig, morgen! Gruss HRM,megamath |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1844 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 19:16: |
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Hallo Megamath Ich weiß nicht genau wie du die Aufgabe gelöst hast, aber ich würde es wie folgt machen: [(1+x)^(1/x) / e ]^(1/x) =[e^(1/x*ln(1+x))/e]^(1/x) =e^(1/x^2*ln(1+x))/e^(1/x) =e^((ln(1+x)-x)/x^2 Dann betrachtet man lim(x->0) [ln(1+x)-x]/x^2 =lim(x->0) [1/(1+x)-1]/(2x) =lim(x->0) -x/[(1+x)*2x] =lim(x->0) -1/(2+4x) =-1/2 Daraus folgt wegen der Stetigkeit von exp das Ergebnis, was du auch schon raus hattest, also e^(-1/2) MfG Christian |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1455 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 20:12: |
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Hallo HR, ich kann dein Ergebnis (mittels Derive) bestaetigen, die Rechnung gestaltet sich aber bei mir undurchfuehrbar, weil die Ableitungen sehr umfangreich werden. Ob die Methode von Christian, zuerst nur vom Exponenten den Grenzwert zu berechnen, zulaessig ist, weiss ich jetzt nicht, bestechend bzw. elegant ist sie aber jedenfalls. Gr mYthos |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1845 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 20:44: |
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Hallo Mythos Zulässig ist die Methode. Das liegt daran, dass die Exponentialfunktion stetig ist. Stetigkeit ist ja im Prinzip gerade so definiert. Wenn x->a geht, dann geht f(x)->f(a)(Stetigkeit im Punkt a) Bei uns läuft [ln(1+x)-x]/x^2->-1/2, also geht auch e^([ln(1+x)-x]/x^2) gegen e^(-1/2). MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5148 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 21:28: |
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Hi Christian, Hi Mythos Ich danke Euch für die Beiträge! Ich möchte nun meine modifizierte Lösung präsentieren. Unterwegs mache ich die Substitution 1/x = z ; mit x gegen null strebt z gegen unendlich. Das brauche ich zwar nicht, weil ich die Substitution bald wieder rückgängig machen werde. Ich setze T = [ [ (1+ 1/z)^z ] / e ] ^ z Wir wollen den Grenzwert von T für z gegen unendlich berechnen. Wir erhalten ln T =z [ z ln (1+1/z)^z – 1 ] Ersetze z durch 1/x; es entsteht ln T = [1/x * ln(1+x) - 1] / x Nun gibt es zwei Wege. I. Man berechnet mit de l´Hospital den Grenzwert für x strebt gegen 0: lim [ ln (1+ x) / x^2 – 1/x] Resultat:- 1/2 II oder man setzt die Logarithmusreihe ein: ln (1+x) = x – x^2/2 + x^3/3 – x^4/4 +…. gültig für -1< x <=1. Ich wähle den zweiten Weg: ln T = [1 – x/2 + x^2 /3 - x^3 /4 +…-1] / x = - 1/2+ x/3 – .. Grenzwert für x ->0: - 1/2, das bedeutet für den gesuchten Grenzwert G: G = e^(-1/2). Gruss HRM,megamath. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1456 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 22:13: |
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Hallo Christian, hallo HR, ja, eure Ausfuehrungen bringen's auf den Punkt! Jetzt ist es klar! Leider hat sich conny bisher nicht dazu geaeussert ... wie (schon so oft) gehabt :-(( Gr mYthos |