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l hospital

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conny
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 10:16:   Beitrag drucken

hallo alle hier...mit diesen 2 aufgaben tue ich mich schwer bei der anwendung von l hospital

lim x->+oo x^n/e^ax

lim x->0 [(1+x)^1/x / e ]^1/x

vielleicht weiss jemand rat...conny
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1453
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 12:53:   Beitrag drucken

Hallo,

zu 1.

Zaehler und Nenner n mal ableiten! Die Ableitung des Zaehlers ist dann n*(n - 1)*(n - 2)*....*2*1 = n!, also eine endliche Zahl, die des Nenners (a^n)*e^(ax).
Da der Nenner ueber alle Grenzen geht, ist der Grenzwert des ganzen Bruches 0.

Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1454
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 13:06:   Beitrag drucken

.. und bei 2.

...
war offensichtlich falsch, muss nochmal ueberpruefen.

Gr
mYthos

(Beitrag nachträglich am 07., Juni. 2005 von mythos2002 editiert)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5146
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 17:51:   Beitrag drucken

Hallo Mythos

Die zweite Aufgabe ist tatsächlich schwierig!
Ich erhalte, ohne Gewähr, als Grenzwert:
G = e ^ ( -1/2).
Ich habe mit dem Logarithmus des gegebenen Terms und einer Reihenentwicklung von ln(1+x) gearbeitet. gearbeitet.

Kannst du das Resultat bitte überprüfen?

Gruss
HRM
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5147
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 19:06:   Beitrag drucken

Hi

Mit der von mir angedeuteten Methode
kann statt der Reihenentwicklung auch die Regel von de L´Hospital / Bernoulli
eingesetzt werden.
Die ausführliche Berechnung folgt,wenn noch nötig, morgen!

Gruss
HRM,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1844
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 19:16:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

Ich weiß nicht genau wie du die Aufgabe gelöst hast, aber ich würde es wie folgt machen:
[(1+x)^(1/x) / e ]^(1/x)
=[e^(1/x*ln(1+x))/e]^(1/x)
=e^(1/x^2*ln(1+x))/e^(1/x)
=e^((ln(1+x)-x)/x^2
Dann betrachtet man
lim(x->0) [ln(1+x)-x]/x^2
=lim(x->0) [1/(1+x)-1]/(2x)
=lim(x->0) -x/[(1+x)*2x]
=lim(x->0) -1/(2+4x)
=-1/2

Daraus folgt wegen der Stetigkeit von exp das Ergebnis, was du auch schon raus hattest, also
e^(-1/2)

MfG
Christian
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1455
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 20:12:   Beitrag drucken

Hallo HR,

ich kann dein Ergebnis (mittels Derive) bestaetigen, die Rechnung gestaltet sich aber bei mir undurchfuehrbar, weil die Ableitungen sehr umfangreich werden.

Ob die Methode von Christian, zuerst nur vom Exponenten den Grenzwert zu berechnen, zulaessig ist, weiss ich jetzt nicht, bestechend bzw. elegant ist sie aber jedenfalls.

Gr
mYthos
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1845
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 20:44:   Beitrag drucken

Hallo Mythos

Zulässig ist die Methode. Das liegt daran, dass die Exponentialfunktion stetig ist.
Stetigkeit ist ja im Prinzip gerade so definiert.
Wenn x->a geht, dann geht f(x)->f(a)(Stetigkeit im Punkt a)
Bei uns läuft [ln(1+x)-x]/x^2->-1/2, also geht auch e^([ln(1+x)-x]/x^2) gegen e^(-1/2).

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5148
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 21:28:   Beitrag drucken

Hi Christian, Hi Mythos

Ich danke Euch für die Beiträge!

Ich möchte nun meine modifizierte Lösung präsentieren.
Unterwegs mache ich die Substitution
1/x = z ; mit x gegen null strebt z gegen unendlich.
Das brauche ich zwar nicht, weil ich die Substitution bald wieder rückgängig machen werde.

Ich setze
T = [ [ (1+ 1/z)^z ] / e ] ^ z
Wir wollen den Grenzwert von T für z gegen unendlich berechnen.

Wir erhalten
ln T =z [ z ln (1+1/z)^z – 1 ]

Ersetze z durch 1/x; es entsteht

ln T = [1/x * ln(1+x) - 1] / x

Nun gibt es zwei Wege.

I.
Man berechnet mit de l´Hospital den Grenzwert für x strebt gegen 0:
lim [ ln (1+ x) / x^2 – 1/x]
Resultat:- 1/2

II
oder man setzt die Logarithmusreihe ein:
ln (1+x) = x – x^2/2 + x^3/3 – x^4/4 +….
gültig für -1< x <=1.


Ich wähle den zweiten Weg:
ln T = [1 – x/2 + x^2 /3 - x^3 /4 +…-1] / x = - 1/2+ x/3 – ..
Grenzwert für x ->0: - 1/2, das bedeutet für den gesuchten Grenzwert G:
G = e^(-1/2).

Gruss
HRM,megamath.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1456
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 22:13:   Beitrag drucken

Hallo Christian, hallo HR,

ja, eure Ausfuehrungen bringen's auf den Punkt! Jetzt ist es klar!

Leider hat sich conny bisher nicht dazu geaeussert ... wie (schon so oft) gehabt :-((

Gr
mYthos

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